どこよりも遅い！数学２Ｂ第５問 解説
最終更新日２００８年２月２３日
下の表は、１０名からなるある少人数クラスを Ｉ 班と ＩＩ 班に分けて、１００点満点で２回ずつ実施した数学と英語のテストの得点をまとめたものである。ただし、表中の平均点はそれぞれ１回目と２回目の数学と英語のクラス全体の平均点を表している。また、Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄの値は全て整数とする。
| １回目 | ２回目 | ||||
| 班 | 番号 | 数学 | 英語 | 数学 | 英語 |
| Ｉ | 1 | 40 | 43 | 60 | 54 |
| 2 | 63 | 55 | 61 | 67 | |
| 3 | 59 | B | 56 | 60 | |
| 4 | 35 | 64 | 60 | 71 | |
| 5 | 43 | 36 | C | 80 | |
| II | 6 | A | 48 | D | 50 |
| 7 | 51 | 46 | 54 | 57 | |
| 8 | 57 | 71 | 59 | 40 | |
| 9 | 32 | 65 | 49 | 42 | |
| 10 | 34 | 50 | 57 | 69 | |
| 平均値 | 45.0 | E | 58.9 | 59.0 | |
〔１〕１回目の数学の得点について、Ｉ 班の平均点は（アイ）．（ウ）点である。また、クラス全体の平均点は４５．０点であるので、ＩＩ 班の１番目の生徒の数学の得点Ａは（エオ）点である。
〔２〕ＩＩ 班の１回目の数学と英語の得点について、数学と英語の分散はともに１０１．２である。したがって、相関係数は（カ）．（キク）である。
〔３〕１回目の英語の得点について、Ｉ 班の３番目の生徒の得点Ｂが分からないとき、クラス全体の得点の中央値Ｍの値として（ケ）通りの値があり得る。
実際は、１回目の英語の得点のクラス全体の平均点Ｅが５４．０点だった。したがって、Ｂは（コサ）点となり、中央値Ｍは（シス）．（セ）点である。
〔４〕２回目の数学の得点について、Ｉ 班の平均点はＩＩ 班の平均点より４．６点大きかった。したがって、Ｉ 班の５番目の生徒の得点Ｃから ＩＩ 班の１番目の生徒の得点Ｄを引いた値は（ソ）点である。
〔５〕 １回目のクラス全体の数学と英語の得点の相関図（散布図）は、（タ）であり、２回目のクラス全体の数学と英語の得点の相関図は、（チ）である。また、１回目のクラス全体の数学と英語の得点の相関係数を r 1, ２回目のクラス全体の数学と英語の得点の相関係数を r2 とすると値の組 (r1, r2) として正しいのは（ツ）である。（タ）（チ）に当てはまるものを、それぞれ次の０〜３のうちから一つずつ選べ。
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| ０．（0.54, 0.20） | １．（-0.54, 0.20） |
| ２．（0.20, 0.54） | ３．（0.20, -0.54） |
０．変更前より減少 １．変更前と一致 ２．変更前より増加
解答
(1) 1回目のＩ班の数学の得点の平均は（40＋63＋59＋35＋43）／5 ＝ 240／5 ＝ 48.0
クラス全員の平均が４５．０点であることから II 班の得点の合計は４５．０×１０−２４０＝２１０
よってＡの値は210−（51−57−32−34） ＝ 36 点
（２） II 班の１回目の数学と英語の得点の各教科の平均と各得点の平均との差を計算すると次のようになる。
| I 班 | II 班 | ２つの （得点−平均） の積 | ||
| 得点 | 得点−平均 | 得点 | 得点−平均 | |
| 36 | -6 | 48 | -8 | 48 |
| 51 | 9 | 46 | -10 | -90 |
| 57 | 15 | 71 | 15 | 225 |
| 32 | -10 | 65 | 9 | -90 |
| 34 | -8 | 50 | -6 | 48 |
| 平均 | 平均 | 上の５つの合計 | ||
| 42 | 56 | 141 | ||
141/(101.2*5) ≒ 0.28
（３）１０人の得点の中央値は、得点を高い順に並べたとき、５番目と６番目の平均になる。１回目の英語のＢ以外９人の得点を得点の高い順に並べたとき４番目：５５点、５番目：５０点、６番目：４８点
となる。Ｂは整数であるため、中央値について次の可能性がある。
| Ｂの範囲 | ５番目 | ６番目 | 中央値 |
| Ｂ≧５５ | ５０ | ５５ | ５２．５ |
| ５０≦Ｂ≦５４ | ５０ | Ｂ | Ｂ／２＋５０ |
| Ｂ＝４９ | ４９ | ５０ | ４９．５ |
| Ｂ≦４８ | ４８ | ５０ | ４９ |
−１１、１、Ｂ−５４、１０、−１８、−６、−８、１７、１１、−４
となる。平均値が５４．０であるため、これら１０個の値の合計は０でなければいけない。１０個の値の合計は Ｂ−６２ となるため、Ｂ＝６２である。このことから中央値は上の表から５２．５点となる。２回目の英語の Ｉ 班の得点から６０点を引いた値を番号順に並べると
０、１、−４、０、Ｃ−６０
２回目の英語の II 班の得点から６０点を引いた値を番号順に並べるとＤ−６０、−６、−１、−１１、−３
I 班の平均点と II 班の平均点の差は上の各５つの値の平均の差と等しい。これより
（０＋１−４＋０＋Ｃ−６０)／５−（Ｄ−６０−６−１−１１−３)／５
＝４．６
⇒（Ｃ−６３）−（Ｄ−８１）＝２３
⇒Ｃ−Ｄ＝５
０．の相関図は全体にばらつきがあるため、相関係数は０に近い。一方１．の相関図は正の相関があるため、１に近い。これより (r1, r2) として正しいのは２．の（０．２０，０．５４）となる。
（６） ２回目のクラス全員１０名の英語の得点について、得点の高い２名の得点が２点ずつ下がり、得点の低い２名の得点が２点ずつあがった。そのほか６名の得点に変更はなかった。
このとき、１０人の合計得点は２点あがり、２点下がったため、増減はない。よって平均点も変更前と一致する（選択肢１．）
一方、分散については、平均値から最も離れている４名の得点が変更により平均値に近づいたため、分散は変更前より減少する（選択肢０．）
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