どこよりも遅い！数学２Ｂ第５問 解説

最終更新日２００７年３月８日

　次の図は、変量ｘと変量ｙの相関図（散布図）である。

〔１〕１月から１２月までの変量 ｘ は次の通りであった。

−１２， −９， −９， ３， １０， １７， ２０， １９， １５， ７， １， −８

〔２〕１月から１２月までの１２ヶ月を、変量 ｘ が０℃未満の四つの月からなるＡグループと、０℃以上の八つの月からなるＢグループとに分けて分析した。

このとき、Ａグループにおける変量 ｘ の平均値は（オカ）．（キ）℃であり、分散は（クケ）．（コ）である。

　また、Ａグループにおける変量 ｙ の平均値は６．０℃で、Ｂグループにおける変量 ｙ の平均値は２１．５℃であった。このとき、１月から１２月までの変量 ｙ の平均値は（サシ）．（ス）℃である。

　変量 ｘ と変量 ｙ の相関図のデータの中で、入力ミスが見つかった。変量 ｘ の値が７℃、変量 ｙ の値が３０℃となっている月の変量 ｙ の値は、正しくは１８℃であった。

〔３〕この誤りを修正すると、変量 ｙ の平均値は（セ）,（ソ）℃減少する。また、変量 ｙ の分散は（タ）する。ただし、（タ）については、当てはまるものを次の０〜２のうちから一つ選べ。

０．修正前より増加 １．修正前より減少 ２．修正前と一致

０ … １３．５、１ … １５．０、２　…　１６．５、３　…　１８．０

〔５〕 誤りを修正した後の寒暖の差（最高気温と最低気温の差）を変量 ｚ （＝ｙ-ｘ）とする。変量 ｚ の平均値は（テト）．（ナ）℃であり、変量 ｘ と変量 ｚ の相関図として適当なものは（ニ）である。ただし、（ニ）については、当てはまるものを次の０〜３のうちから一つ選べ。

０　…　正の相関があり、最低気温が高い月ほど寒暖の差が大きい １　…　正の相関があり、最低気温が低い月ほど寒暖の差が大きい ２　…　負の相関があり、最低気温が高い月ほど寒暖の差が大きい ３　…　負の相関があり、最低気温が低い月ほど寒暖の差が大きい ４　…　相関関係はほとんどなく、最低気温によって寒暖の差は影響を受けない

解答

　変量 ｘ が０℃未満の四つの月からなるＡグループの値の合計は−３２となることから平均値は−３２／４＝−８．０℃。一方、各変量 ｘ と平均値との差は−４、−１、５、０ となることから各値の平方の和は１６＋１＋２５＋０＝４２。よって分散は４２／４＝１０．５

　また、Ａグループにおける変量 ｙ の平均値は６．０℃で、Ｂグループにおける変量 ｙ の平均値は２１．５℃であるとき、Ａグループにおける変量 ｙ の合計は６．０×４＝２４．０、Ｂグループにおける変量 ｙ の合計は２１．５×８＝１７２．０

　よって１月から１２月までの変量 ｙ の値の合計は２４＋１７２＝１９６となり、１２ヶ月の平均値は１９６／１２≒１６．３℃

変量 ｘ の値が７℃、変量 ｙ の値が３０℃となっている月の変量 ｙ の値は、正しくは１８℃であった。つまり変量 ｙ の値の合計は３０−１８＝１２℃減少する。このため平均値も１２／１２＝１．０℃減少する。つまり平均値は１６．３−１．０＝１５．３℃になる。また修正後の各変量 ｙ の値は平均値に近い値となるため分散は修正前より減少することが分かる。 問題の選択肢では１にあたる。

修正前の変量 ｙ を小さい順に並べた場合、６番目はおよそ１２℃、７番目が２１℃ となることから中央値は（１２＋２１）／２＝１６．５℃（問題の選択肢では２）になる。一方、修正後の変量 ｙ を小さい順に並べた場合、６番目はおよそ１２℃、７番目が１８℃ となることから中央値は（１２＋１８）／２＝１５．０℃（問題の選択肢では１）になる。

変量 z を ｚ=y-x とした場合、

（変量 z の平均値）＝（変量 ｙ の平均値）−（変量 ｘ の平均値）

　変量 ｘ と変量 ｙ の相関図で左下の値を見ると（ｘ, ｙ）＝（−１２，５）、（−９，４）となる点がある。　これらから変量 ｘ と変量 ｚ の相関図には（ｘ, ｚ）＝（−１２,１７）、（−９，１３）に点を打つ必要がある。問題の選択肢の中でこの２点を打っているのは１の相関図である。

１の相関図は変量 ｘ の値が高いほど変量 ｚ の値は低くなる。これは最低気温 ｘ と寒暖の差 ｚ について負の相関があり、最高気温が低い月ほど寒暖の差が大きいことを示している。問題の選択肢では３にあたる。

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