どこよりも遅い！数学２Ｂ第５問 解説
最終更新日２００８年２月２３日
次の表は、高等学校のある部に入部した20人の生徒について、右手と左手の握力（単位 kg）を測定した結果である。測定は10人ずつの二つのグループについて行われた。ただし、表中の数字はすべて正確な値であり、四捨五入はされていないものとする。
第１グループ
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第２グループ
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〔１〕第１グループに属する１０人の右手の握力について、平均値Ａは（アイ）．（ウ）kg である。
また、２０人全員の右手の握力について、平均値Ｍは（エオ）．（カ）kg, 中央値は（キク）．（ケ）である。
〔２〕右手の握力について、２０人全員の平均値Ｍからの偏差の２乗の和を、２つのグループそれぞれについて求めると、第１グループでは（コサシ）であり、第２グループでは４２０である。したがって、２０人全員の右手の握力について、標準偏差Ｓの値は（ス）．（セ）kg である。
〔３〕ｔを正の実数とする。２０人全員の右手の握力の平均値Ｍと標準偏差Ｓを用いて、Ｍ−ｔＳ よりおおきく Ｍ＋ｔｓ より小さい範囲を考える
２０人全員の中で、右手の握力の値がこの範囲に入っている生徒の人数を Ｎ(ｔ) とするとき、Ｎ(１)＝（ソタ）であり、Ｎ(２)＝（チツ）である。
〔４〕第２グループに属する１０人の左手の握力について、平均値Ｄは（テト）．（ナ）kg であり、中央値が 40.5 kg であるから、Ｂの値は（ニヌ）kg, Ｃの値は（ネノ）kg である。ただし、Ｂの値はＣの値より大きいものとする。これより、ＥとＦの値も定まる。
〔５〕２０人の各生徒について、右手と左手の握力の平均値と、右手と左手の握力の差の絶対値を求めた。握力の平均値については、最初にあげた表の「左右の握力の平均値」の列に示してある。
握力の平均値を横軸に、握力の差の絶対値を縦軸にとった相関図（散布図）として適切なものは（ハ）であり、相関係数の値は（ヒ）に最も近い。したがって、この２０人については、（フ）。（ハ）に当てはまるものを、それぞれ次の０〜３のうちから一つ選べ。
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| ０： −0.9 | １： −0.5 | ２： 0.0 | ３： 0.5 | ４： 0.9 |
０．握力の平均値が増加するとき、握力の差の絶対値が増加する傾向が認められる。
１．握力の平均値が増加するとき、握力の差の絶対値が増加する傾向も減少する傾向も認められない。
２．握力の平均値が増加するとき、握力の差の絶対値が減少する傾向が認められる。
解答
［１］第１グループの右手の握力の合計を R1、左手の握力の合計を L1とおくとR1/10 = A，L1/10 = 44.5，(R1 + L1)/20 = 44.75
このことからL1 = 44.5×10 = 445， R1 + L1 = 44.75×20 = 895 ⇒ R1 = 895 - 445 = 450
となるため A = 450/10 = 45.0 kg第２グループの右手の握力の合計を R2、左手の握力の合計を L2とおくと同様の計算により
R2 = 43.0×10 = 430
となるため、２０人全員の右手の握力の平均値 Ｍ はM = (R1 + R2)/20 = (450 + 430)/20 = 44.0 kg
また、２０人全員の右手の握力を値の大きい順に並べていくと10番目：46 kg（第１グループの番号３番） 11番目：45 kg（第２グループの番号１８、１９番）
であるため、中央値はこの２つの値の平均 (46+45)/2 = 45.5 kg となる。［２］ 右手の握力について、２０人全員の平均値 M = 44.0 からの偏差の２乗の和を、２つのグループそれぞれについて求めると以下のようになる。
| 第１グループ | 第２グループ | ||
| 番号 | (握力−M)^2 | 番号 | (握力−M)^2 |
| 1 | 25 | 11 | 169 |
| 2 | 49 | 12 | 121 |
| 3 | 1 | 13 | 16 |
| 4 | 9 | 14 | 4 |
| 5 | 4 | 15 | 49 |
| 6 | 100 | 16 | 25 |
| 7 | 9 | 17 | 25 |
| 8 | 4 | 18 | 1 |
| 9 | 25 | 19 | 1 |
| 10 | 64 | 20 | 9 |
| 合計 | 290 | 合計 | 420 |
(290+420)/20 = 710/20 = 35.5
となるため、標準偏差はこの分散の平方根、約 S=6.0 となる。［３］M = 44.0, S=6.0 より N(1) は右手の握力が 44.0-6.0 = 38.0 より大きく 44.0+6.0 = 50.0 より小さい値の人数となる。表からこの範囲の人数を数えると N(1)=12となる。同様に N(2) は右手の握力が 44.0-2×6.0 = 32.0 より大きく 44.0+2×6.0 = 56.0 より小さい値の人数となるため、N(2)=19となる。
［４］［１］の計算と同様にして考えると
R2/10 = 43.0， L2/10 = D， (R2 + L2)/20 = 41.25
このことからR2 = 43.0×10 = 430， R2 + L2 = 41.25×20 = 825 ⇒ L2 = 825 - 430 = 395
よって D = 395/10 = 39.5B + C = 395 - 308 = 87
また中央値が 40.5 kg であるため、40 kg と 41 kg がデータの中にある必要がある。 41 kg は表にあるが 40 kg は表にないため、B, C のいずれかは 40 kg でなければいけない。このため(B, C) = (40, 47) または (47, 40)
Ｂの値はＣの値より大きいことから B = 47 kg, C = 40 kg.［４］２０人の左右の手の握力について
左右の握力が同じ値（差の絶対値が０）であるのは第１グループ９番の人で、握力は共に 50 kg.
左右の握力の平均値が 50.0 kg であるのは第１グループの２番、９番の２人。
以上２つの条件を満たす相関図は（１）のみである。
この相関図には増加の傾向も減少の傾向も見られないため、相関係数は２．の 0.0 に近く、この２０人について握力の平均値が増加するとき、握力の差の絶対値が増加する傾向も減少する傾向も認められない（解答群の１．）
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