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どこよりも遅い！情報関連基礎第２問 解説

最終更新日２００８年３月２３日

第２問は数字を使ったゲームに関する問題。ゲームのルールは以下の通り このゲームでＡさんが「 i 」の札、その次にＢさんが「 j 」の札、その次にＡさんが「 k 」の札を取る流れを A(i) → B(j) → A(k) を記述する。

問１

　取り出した札の番号が 2, 4, 5, 6 の場合、Ａさんが最初に 5 を取り出したとき、２番手までのゲーム経過は

A(5) → B(2), A(5) → B(4), A(5) → B(6)

のいずれかである。Ｂさんが取った札は偶数で残りの札の番号も偶数であるため、Ａさんは次に札を取ることができない。つまり、Ａさんは始めに 5 を取ると必ず負ける。
　Ａさんが最初に 6 の札を取ったとき、３番手までの手順は

A(6) → B(5) → A(4), A(6) → B(5) → A(2)

となるため、先ほどと同じ考え方からＢさんの負けになる。

　取り出した札の番号が 2, 3, 5, 6 の場合、ゲーム経過の一つとして

A(2) → B(3) → A(5) → B(6)

がある。

問２

　札の取り方を分かりやすくするために、図を用いること考えた。二つの札の番号が互いに素であるときのみ、それら二つの番号を線で結ぶ。このとき次に取ることができる札の番号は前の人の取り出した札の番号と線でつながっているものとなる。
　例えば、取り出した札が 2, 3, 5, 6 の場合、図を作ると図１の形になる。Ａさんが 5 を取り出したとき、次にＢさんは 5 と線で結ばれている 2, 3, 6 のいずれかを取ることができる。一方Ａさんが 2 を取り出したとき、次にＢさんは 2 と線で結ばれている 3, 5 のいずれかを取ることができる。

　２から９までの番号の札から何枚か取り出して、図を作る。
　図２(a) の形になったとき、オ・カの２個の番号は共に 2, 3 と線で結ばれているため 2, 3 と互いに素な数である。番号は２〜９であることからオ・カに入る番号は 5, 7 （この解答は順不同）の２つ。5, 7 は 互いに素であるため線で結ばれることから図２(a) の図が正しいことが分かる。

　また図２(b) の形になったとき、キの数は 2, 4, 5 と線で結ばれているためこの３つの数字と互いに素な数。そのような数は 2 から 9 の間では 7 と 9. また 3 とは線で結ばれていないため、キの数は 3 と互いに素でない。よってキに入る数字は 9 のみである。

　上の方法で作られる図に対して、以下の条件を満たすようにいくつかの線を太線で表す。

図３は取り出した札の番号が 2, 3, 8, 14, 15, 21 の場合、図４は取り出した札の番号が 2, 3, 15, 21, 70, 140 の場合の図になる。以下、番号 i, j を結ぶ線を (i, j) と表すことにする。

　図３では (2, 3), (14, 15), (8, 21) の３本の太線がある。Ａさんがいずれかの番号を取るとき、Ｂさんはその番号と太線で結ばれている番号を取ればよい。このため、Ｂさんがうまく札を取ると、Ａさんが絶対に勝てないことが分かる。例えば以下のゲーム経過になる。 つまり、

A(8) → B(21) → A(2) → B(3) → A(14) → B(15)

というゲーム経過がある。
　つまり、取り出したすべての番号が太線で結ばれたとき、Ａさんが取った札の番号に対して、Ｂさんはその番号と太線でつながっている番号を取ることにすれば、必ずＡさんが負けてしまうことが分かる。

　同じように図３の太線と組み合わせで ([コ], 21), ([サ], 8), ([シ], 15) と選ぶことができるような [コ], [サ], [シ] を決める。同じ番号が２本以上の太線で結ばないため、互いに他の太線に入っている 8 , 15, 21 は太線で結ぶことができない。21 の番号は 2, 8 の２つとつながっているため、 21 は 2 と太線で結ぶ（[コ] は 2 (解答群の 0.) になる） 同様にして 8 と 15 は太線で結ぶことができないため、15 と 14、8 と 3 をそれぞれ太線で結ぶ。（[サ] は 3 (解答群の 1.), [シ] は 14 (解答群の 8.) になる）

この新しい太線の組に基づいてゲームを行い

A(8) → B(3) → A([ス]) → B(15) → A([セ]) → B(21)

というゲーム経過になるとき、[ス]、[セ] はそれぞれ次のＢさんが取った札の番号と太線で結ばれている番号を選ぶため、[ス] は 14 (解答群の 8.), [セ] は 2 (解答群の 0.) になる。

　また図４で示されたゲームのとき、Ａさんが 21 の札を取ると、Ｂさんは 2 の札を取れば次にＡさんが 2 と太線でつながった 15 (解答群の 9.) を取れば、つながっている番号はなくなるためＡさんの勝ちとなる。

　新たに 2, 3, 5, 6, 7, 9, 12 の番号の札を取り出したとき、図５のような太線と取り方を考える。

このとき、Ａさんが最初に 3 の札を取れば、次にＢさんが取る番号に対して、Ａさんはその番号と太線でつながっている番号を取ればよいため、Ａさんは必ず勝てる。
　図５の太線の取り方以外にも次の図６の太線を考えると、Ａさんは最初に 3 以外に 12, 6, 9 (解答群の 3.- 6.：順不同)を選んでもＡさんが勝つゲーム経過を作ることができる（図６の緑の番号から取り始めると勝つ手順になる）

一方、Ａさんが 2, 5, 7 の番号を始めに取ると、Ｂさんが以下のゲーム経過で取ることでＡさんが負けることになる（他のゲーム経過もありますが、Ａさんは勝てません）

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