どこよりも遅い！工業数理基礎 第１問 解説
最終更新日２０１０年５月１１日
問１検出用の穴を２列設けた場合、穴を通して光センサが反応するか否かによって、最大 2^2 = 4 通りの組み合わせが作られる。それぞれの反応に等しい角度を割り当てれば、円盤の回転角を 360/4 = 90°（解答群の１．）ごとに検出できる。
より精密な回転角の検出を行うために、穴の列数およびセンサの数を増やすことを考える。一般に穴の列（＝センサの数）が n のとき、センサの反応の組み合わせは最大
2^n 通りになる。このため円盤の回転角の検出は (360/2^n) °ごとに行うことができる。
このことから、穴の列が５列の場合、最大で２の５乗通り、すなわち、32（解答群の３．）通りの表現ができるため、円盤の回転角は
360 / 32 = 11.25°（解答群の６．）
ごとに検出できる。一方回転角の検出を 5°未満で行いたい場合360 / (2^n) < 5
を満たさなければいけない。つまり2^n > 360 / 5 = 72
でなければいけない。2^6 = 64 < 72 < 2^7 = 128 であることから n は最低でも 7 でなければいけない。問２
ある製品に対する「汚れ度」を p_0 [kg/kg] とすると、製品１kg 当たりに付着し ている汚れ物質の質量は p_0 kg。よって質量 M [kg] の製品に付着している汚れ物質の質量は p_0 × M = M p_0 [kg] （解答群の６．）になる。
質量 M（汚れ物質を含まない）の製品を体積 V [m^3] のきれいな水で洗浄する。洗浄後に洗浄水中の汚れ物質の濃度が c [kg/m^3] となったとする。この場合、濃度は洗浄水 1 m^3 の中に溶けている汚れ物質の質量である。よって体積 V [m^3] の洗浄水中に溶け出した汚れ物質の全質量は c × V = c V [kg] （解答群の０．）になる。
以上より洗浄後に製品に残る汚れ物質の質量は (M p_0 - c V) [kg] となるため、洗浄後の汚れ度は
p_1 = (M p_0 - c V) / M = p_0 - cV / M （解答群の４．）
と表すことができる。洗浄水中の汚れ物質の濃度 c [kg/m^3] が高いほど、製品の汚れは落ちにくくなるため、洗浄後の製品の汚れ度 p_1 は高くなる。いま c, p_1 の間に p_1 = K c（K：比例定数、K > 0 ）という関係が成り立つ場合を考える。このとき上の結果と組み合わせると
M = 10 kg, K = 0.2 m^3 / kg, V = 10 m^3 のとき p_0 と p_1 の間には
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