どこよりも遅い！工業数理基礎 第２問 解説

最終更新日２０１０年５月１１日

　地震が発生すると、Ｐ波とＳ波と呼ばれる２つの波動による揺れが起こる。一般に伝わる速度はＰ波のほうが速い。この２つの波が観測される時間差を利用して、震源までの距離を計算することができる。

　Ｐ波の速度を V_p [km/s] Ｓ波の速度を V_s [km/s] とする。観測点と震源との距離が D [km] の時、

地震の発生からＰ波が観測されるまでの時間は D / V_p [s] （解答群の２．）
地震の発生からＳ波が観測されるまでの時間は D / V_s [s] （解答群の３．）

となるためＰ波が観測されてからＳ波が観測されるまでの時間（ＰＳ時間）は D / V_s - D / V_p [s] である。したがって、ＰＳ時間が T [s] の時

T = D / V_s - D / V_p
　= D ( 1 / V_s - 1 / V_p )
　= D × (V_p - V_s) / V_pV_s

となることから

D = T × V_pV_s / (V_p - V_s) [km]（解答群の５．）

と書くことができる。例えば V_p = 5.0 km/s, V_s = 3.0 km/s, T = 4.0 s のとき、震源までの距離は上の式にそれぞれの値を代入して

D = 4.0 × (5.0×3.0) / (5.0 - 3.0) = 30 [km]

である。

　三つの観測点でのＰＳ時間を用いて、震央の位置と震源の深さを計算する。Ｘ，Ｙ，Ｚの観測点でのＰＳ時間を元に震源までの距離を求める。Ｘ，Ｙを中心として、それぞれから震源までの距離を半径とする円を描いて、２つの円の交点を求める。震央はこの２つの交点を結ぶ直線 a の上に存在する。同じようにＸ，Ｚを中心として、震源までの距離を半径とする円を描いて、２つの円の交点を結ぶ直線 b を引く。この２本の直線の交点が震央Ｏになる。

SO = √(SZ^2 - OZ^2) （解答群の８．）

　下の図の三つの観測点Ａ，Ｂ，Ｃで地震の揺れが観測された。各観測点におけるＰＳ時間はそれぞれ 2.7 s, 5.3 s, 4.0 s であった。 Ｐ波、Ｓ波の速度を V_p = 5.0 km/s, V_s = 3.0 km/s とすると、

V_pV_s / (V_p - V_s) = 5.0 × 3.0 / (5.0 - 3.0 ) = 7.5

となることから各観測点から震源までの距離は

Ａ： 7.5 × 2.7 = 20. 25 ≒ 20 km
Ｂ： 7.5 × 5.3 = 39. 75 ≒ 40 km
Ｃ： 7.5 × 4.0 = 30. 00 km

C_a, C_b の交点を結ぶ直線上に４．と５．の２つの地点がある。
C_a, C_c の交点を結ぶ直線上に３．と４．の２つの地点がある。

よって、これら２直線の交点は４．の地点にあり、ここが震央の位置である。

Ｃから震源までの距離は 30 km, 図からＣから震央までの距離は 24 km と読み取れるので、震源の深さは √(30^2 - 24^2 ) = √324 = 18 km

問２

　ある地域で、ある期間にマグニチュードＭ以上の地震がＮ回発生したとすると、ＭとＮの間には以下の関係があることが知られている。

log_{10} N = a - b M …… (1)

N が 100 のとき、M は約 5.6（解答群の１．）
N が 10 のとき、M は約 6.6（解答群のａ．）

と読める。すなわち

M = 5.6 で log_{10} N = 2, M = 6.6 で log_{10} N = 1

であることから式 (1) において a = 7.6, b = 1.0 と決まる。

当てはめた直線を M = 7.0 まで延長したとき N = 4 の付近で交わる。よって M =7.0 以上の地震が 10 年間に 4 回程度発生すると考えられる。

問３

モーメントマグニチュード M_w は地震モーメント m を用いて

M_w = 0.67 log_{10} m - 6.1 …… (1)

と表される。この式を m について解くと

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