どこよりも遅い！工業数理基礎第３問解説

どこよりも遅い！工業関係基礎第３問解説

最終更新日２０１０年６月１５日

問１

　地表から静止衛星までケーブルをつなげたとき、ケーブルにかかる引張力は、以下の式で表される。

微小部分の角速度 ω は単位時間当たりに回転する角度を表す。この式では静止衛星の角速度と等しい（解答群の２．）ちなみに角速度は中心からの距離には変化しないため、高度によらず一定の値をとり、地表でも同じ角速度の値をとる。

　ケーブルの微小部分の質量は以下の式で書くことができる。

これを式 (1) に当てはめると

と書くことができる。地球の半径を R, 静止衛星軌道の地表からの高度を h とすると

地表での回転半径は、地球の半径と等しいため R（解答群の８．）
静止衛星軌道の高度の回転半径は

地球の半径＋静止衛星軌道の地表からの高度＝ R + h（解答群のａ．）

となるため、ケーブルの最大引張力は式 (2) を r = R から r = R + h まで積分した値になる。

問２

ケーブルにかかる引張応力の最大値とケーブルの材料密度の間の以下の関係式を考える。

　カーボンナノチューブを使ったケーブルの場合、カーボンナノチューブの密度が 1.4 × 10^3 kg/m^3 であることから上の式に代入すると、

となる。

問３

　直径 10 nm のカーボンナノチューブを正六角形を形作るように並べて、差し渡しの寸法が 1 mm の大きな正六角形となるケーブルを作製した。

　一本のナノチューブに対して６本のナノチューブが接するように並んでおり、これら６本のナノチューブの中心は正六角形を形成している。左の図の小正六角形（緑色）一つに対して、

中心のナノチューブが１本配置されている。
周辺のナノチューブ１本当たり、１／３の面積の分だけ配置されている。

よって小正六角形一つに

１＋６×（１／３）＝３本

のナノチューブが配置したことになる。小正六角形の直径はケーブルの２本分、つまり 20 nm である。

1 nm = 10^(-9) m = 10^(-6) mm

であることから

　　　　（ケーブルの直径）／（小正六角形の直径）＝　1mm / (20 × 10^(-6) mm)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝　5.0 × 10^4

であるため、

　　　　（ケーブルの面積）／（小正六角形の面積）＝　(5.0 × 10^4)^2
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝　25.0 × 10^8
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝　2.5 × 10^9 （解答群の８．）