どこよりも遅い！数学２Ｂ第５問 解説
最終更新日２０１０年２月２３日
次の表は、３回行われた 50 点満点のゲームの得点をまとめたものである。１回戦のゲームに 15 人の選手が参加し、そのうち得点が上位の 10 人が２回戦のゲームに参加した。さらに、２回戦のゲームで得点が上位の４人が３回戦のゲームに参加した。表中の「−」は、そのゲームに参加しなかったことを表している。また、表中の「範囲」は、得点の最大の値から最小の値を引いた差である。なお、ゲームの得点は整数値をとるものとする。
| 番号 | １回戦 （点） | ２回戦 （点） |
３回戦 （点） |
| 1 | 33 | 37 | − |
| 2 | 44 | 44 | Ｄ |
| 3 | 30 | 34 | − |
| 4 | 38 | 35 | − |
| 5 | 29 | 30 | − |
| 6 | 26 | − | − |
| 7 | 43 | 41 | 43 |
| 8 | 23 | − | − |
| 9 | 28 | − | − |
| 10 | 34 | 38 | Ｅ |
| 11 | 33 | 33 | − |
| 12 | 26 | − | − |
| 13 | 36 | 41 | Ｆ |
| 14 | 30 | 37 | − |
| 15 | 27 | − | − |
| 平均値 | Ａ | 37.0 | 43.0 |
| 範囲 | 21 | 14 | 7 |
| 分散 | 35.60 | Ｂ | 6.50 |
| 標準偏差 | 6.0 | Ｃ | 2.5 |
〔１〕１回戦のゲームに参加した１５人の得点の平均値Ａは（アイ）．（ウ）点である。そのうち、得点が上位の１０人の得点の平均値を Ａ１, 得点が下位の５人の得点の平均値を Ａ２ とすると、Ａ１, Ａ２, Ａ の間には関係式
（エ）／（オ）Ａ１＋（カ）／（キ）Ａ２＝Ａ
が成り立つ。ただし、（エ）／（オ）＋（カ）／（キ）＝１とする。〔２〕２回戦のゲームに参加した10人の２回戦のゲームの得点について、平均値 37.0 点からの偏差の最大値は（ク）．（ケ）点である。また、分散Ｂの値は（コサ）．（シス）、標準偏差Ｃの値は（セ）（ソ）点である
〔３〕３回戦のゲームの得点について、大小関係Ｆ＜Ｅ＜42＜Ｄが成り立っている。
Ｄ、Ｅ、Ｆの値から平均値 43.0 点を引いた整数値をそれぞれ x, y, zとおくと、３回戦のゲームの得点の平均値が 43.0 点、範囲が 7 点、分散が 6.50 であることから、次の式が成り立つ。
|
x + y + z = （タ） x - z = （チ） x^2 + y^2 + z^2 = （ツテ） |
〔４〕２回戦のゲームに参加した１０人について、１回戦のゲームの得点を変量 p、２回戦のゲームの得点を変量 q で表す。このとき変量 p と変量 q の相関図（散布図）として適切なものは（ハ）であり、変量 p と変量 q の間には（ヒ）。（ハ）に当てはまるものを、次の０．〜３．のうちから一つ選べ。
|
|
|
０．正の相関関係がある １．相関関係はほとんどない ２．負の相関関係がある |
〔５〕２回戦のゲームに参加した１０人について、〔４〕での変量 p, q を使って、得点の変化率を表す変量 r を、r = (q-p)/p × 100 (%) で定め、次の度数分布表を作成した。
|
階級（%） 以上 未満 |
人数 （人） |
| −１０〜 ０ | |
| ０〜１０ | |
| １０〜２０ | |
| ２０〜３０ |
解答
［１］１回戦の１５人の得点から 33 点を引いた値は以下の通りになる。
| 番号 | １ | ２ | ３ | ４ | ５ | ６ | ７ | ８ | ９ | １０ | １１ | １２ | １３ | １４ | １５ |
| 得点−33 点 | 0 | 11 | -3 | 5 | -4 | -7 | 10 | -10 | -5 | 1 | 0 | -7 | 3 | -3 | 6 |
上位１０人の平均値をＡ１、下位５人の平均値をＡ２とすると
上位１０人の得点の合計＝10 × Ａ１、下位５人の得点の合計＝5 × Ａ２ ⇒ １５人の得点の合計＝10 Ａ１+ 5 Ａ２
よって１５人の得点の平均値は(10 Ａ１+ 5 Ａ２)/15 = 2/3 A1 + 1/3 A2 = A
となる。［２］２回戦の１０人の得点の平均値 37.0 点からのそれぞれの得点の偏差および偏差の２乗を求めると以下の通りになる（「−」は２回戦に参加していないことを表している）
| 番号 | １ | ２ | ３ | ４ | ５ | ６ | ７ | ８ | ９ | １０ | １１ | １２ | １３ | １４ | １５ |
| 偏差 | 0 | 7 | -3 | -2 | -7 | − | 4 | − | − | 1 | -5 | − | 4 | -1 | − |
(0+49+9+4+49+16+1+25+16+1)/10 = 16.00
よって、標準偏差Ｃの値は (16.00)^(1/2) = 4.0点である。［３］Ｄ，Ｅ，Ｆ と x，y，z の間には
D = 43 + x, E = 43 + y, F = 43 + z
という関係がある。３回戦のゲームに参加した４人の得点の平均値が 43.0 点であるため
|
(43 + D + E + F)/4 = 43 ⇒ 43×4 + x + y + z = 43×4 ⇒ x + y + z = 0 |
分散を求めると
{(D - 43)^2 + (E - 43)^2 + (F - 43)^2 + (43 - 43)^2}/4 = (x^2 + y^2 + z^2)/4
分散が 6.50 であるため、x^2 + y^2 + z^2 = 4 × 6.50 = 26
以上の３式の満たす x, y, z の値を求めると(x, y, z) = (4, -1, -3), (3, 1, -4)
の２組がある。大小関係Ｆ＜Ｅ＜42＜Ｄより z ＜ y ＜ 0 ＜ x が成り立つ。この関係を満たす x, y, z の値は (x, y, z) = (4, -1, -3) である。以上からD = 43 + 4 = 47, E = 43 - 1 = 42, F = 43 - 3 = 40
［４］０．と１．のグラフは (p, q) = (33, 33) にあたる点がない。３．のグラフは (p, q) = (44, 44) にあたる点がない。２．のグラフはすべての点が配置されているため（ハ）に当てはまるものは２．である。２．のグラフより、p の値が大きいほど q の値が大きいことがわかる。つまり変量 p と変量 q の間には正の相関関係がある。（選択肢の０．）
［５］変量 r について
r = (q-p)/p × 100 = 100 × q/p - 100 ⇔ q/p = (100 + r)/100 = 1 + r/100
このことから変量 r の階級は q/p から求めることができる。つまり、
0 ≦ r ＜ 10 ⇔ 1 ≦ q/p = 1 + r/100 ＜ 1.1
10 ≦ r ＜ 20 ⇔ 1.1 ≦ q/p = 1 + r/100 ＜ 1.2
| 番号 | １ | ２ | ３ | ４ | ５ |
| q/p | 1.1 ≦ 37/33 ＜ 1.2 | 1 ≦ 44/44 ＜ 1.1 | 1.1 ≦ 34/30 ＜ 1.2 | 35/38 ＜ 1 | 1 ≦ 30/29 ＜ 1.1 |
| 番号 | ７ | １０ | １１ | １３ | １４ |
| q/p | 41/43 ＜ 1 | 1.1 ≦ 38/34 ＜ 1.2 | 1 ≦ 33/33 ＜ 1.1 | 1.1 ≦ 41/36 ＜ 1.2 | 1.2 ≦ 37/30 |
数学とクイズでくつろいで＜数学の部屋＜どこよりも遅い！センター試験数学 解説＜数学２Ｂ第５問 解説