緑を立方体の底面、赤を側面、青を上面に合わせるように包む
「コマネチ大学数学科」に挑む・０８年１月
最終更新日２００８年２月１６日
フジテレビで深夜に放送されている「コマネチ大学数学科」の問題に解く様子をご紹介します。数学をやってきたので簡単に解ける…と思ったものの…その奮闘振りをお楽しみに。なお、福岡での放送は二週間遅い模様です。そこら辺はご勘弁を。| 「サム・ロイド(1/9)」 |
| 「ラッピング(1/16)」 |
| 「ピタゴラス(1/23)」 |
| 「ミッシングハイカー(1/30)」 |
ご意見がありましたらtfujisaki2006@yahoo.co.jpまでお願いします。
問題：下の３つの状態のうち１５パズルの要領で右の状態に動かすことができないのはどれでしょう。
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今回はコマ大数学研究会の挑戦は無く、３組が実際に１５パズルを使って答えを導いていった。答えが出た後は各自法則を見つけていった。マス北野もこのパズルは知っていたが法則までは知らなかった。コマ大もいつになく真剣に問題に挑んでいた…
カメラに邪魔されるお宮の松を除いて…
さて、私はどうしたか。あることをチョコチョコと確かめただけで問題を解いた。答えは２番である。詳しくは後ほど。 各組の答えです。正解…２番
まずは私が確かめたことから書いていきます。まず右下に空きマスを移動させます。この後コマを持ち上げるルール違反をします。あくまで仮定です。２つのコマを持ち上げて場所を入れ替え、ゴールの並びになるようにしていきます。この違反行為の入れ替えが偶数回で終わるとゴールの並びになり、奇数回で終わるとゴールの並びになりません。今回の問題の場合は「３と４」「４と８」「８と１２」
の順に３回入れ替えてゴールの並びになる。「２と３」「３と４」「４と８」「８と１２」
の順に４回入れ替えてゴールの並びになる。
２番を動かしたもの
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３番を動かしたもの
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今回は全員正解だったが、隣のコマとの大小関係を見て法則を考えたマス北野・ポヌ組がコマネチフィールズ賞を取った。最後に「次回はクリスマス直前問題」と書かれてあったがやはり
「関東地方で１２月に放送された番組です」
という字幕がかぶさっていた…数学とクイズでくつろいで＜数学の部屋＜「コマネチ大学数学科」に挑む＜「コマネチ大学数学科」に挑む・０８年１月
「ラッピング(1/16)」
前回同様関東で１２月に放送されたものが福岡では１月に放送された。クリスマス向けの内容だったが、リボンをつけた戸部アナや「ジングルベル」の替え歌を歌うコマ大を見ているとむなしく思う…
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問題：一辺が１０ｃｍの立方体を包むことができる長方形の包装紙の最小の面積を求めよ。ただし
・立方体の全ての面を包装紙で覆うこと。 |
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緑を立方体の底面、赤を側面、青を上面に合わせるように包む |
上の図のような包装紙を考えると白の部分を中に入れて立方体を包むことができる。面積は８００平方ｃｍ。問題はこれが最小の面積であるかということ。
コマ大の挑戦は、包装といえばデパート、ということで訪れたデパートは丸広百貨店川越店…
どこ？？？？？
この百貨店ではダンカンさんのお歳暮用店内アナウンスをしている、とのこと。ここで店の人から品物の包装の極意を教わり答えを導こうとする作戦。しかし店の人が言うには「立方体を包むのは難しい」とのこと。さあ、コマ大は答えを出したのでしょうか。さて、東大生とマス北野・ポヌ組は？というと東大生は着々と図を描きながら答えを出している。一方マス北野組は…マス北野は実際に立方体を包装紙で包んで答えを出そうとしている。それにしてもマス北野、包むのがうまい。以前アルバイトで商品の包装をしていたためであった。で、肝心の答えは出せたのでしょうか。そういえば
今回ポヌさんの声を聞いていないな…
私は、というと先ほどの包みかたより面積を少なくできる方法を考えているが思いつかず…と突然アタルチャンス！！コマ大がスタジオの隅に隠れて何かを始めた。マス北野も覗き見する。そのときになぜかひらめいた。もしや細い長方形を巻く？いや、それは無いだろう
私はこの考えを右から左に受け流した… さて、各組の答えです。正解者は…なし！！
実は正解は「６００平方ｃｍ（＝立方体の表面積）に限りなく近づける」ということ。コマ大がリボンを巻いて包もうとしましたが、この考え方が正しかった。
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「巻く」というよりか「貼り付ける」ようにして細い長方形を貼り付けていく（裏面は表面で見せないように覆うようことができる）そうすると必要な長方形の面積は。
６００平方ｃｍ＋（紫の面積の２倍）
となる。この紫の部分は長方形の幅（細い方）を細くすれば面積が小さくなるため、限りなく６００平方ｃｍに近づけることができる、とのこと。ン〜〜さすがコマ大、私も巻く考えを続ければこの答えは出せたが、それは無いだろうと高をくくったのが間違いだった…今回のコマネチフィールズ賞はリボンを巻きつけたコマ大チーム…と思いきや、それよりも面積の小さい値を出した東大生チームに決まった。中村先生はコマ大チームに少し厳しいようです。ところでリボンを巻きつけた立方体を見てマス北野が「谷ナオミだよ」といっていましたが、この人はＳＭ系のエッチな映画に出てくる女優さんです。
なぜこのようなことを知っているか、それは秘密です。
数学とクイズでくつろいで＜数学の部屋＜「コマネチ大学数学科」に挑む＜「コマネチ大学数学科」に挑む・０８年１月
「ピタゴラス(1/23)」
新年最初の放送ということで解説の竹内先生は和服で登場。そして後のメンバーは…普通の衣装だった。オープニングでは各自の今年の目標を発表。東大生の松江さんは「抗生物質を見つけたい」木村さんは「サブプライム問題で痛手をくった株を取り返したい」とのこと…もうすこし普通の目標はないのか！！
問題：同じ長さの２つのはしごが山の字に立ててあり、地面についているはしごの両端の間隔が４ｍである。さらにはしごの下から３ｍの地点からもう一方のはしごの下の端までの距離とその地点から頂点までの距離が等しいとき、はしごの長さを求めなさい。 |
分からない！！
しかしその後の説明で分かった。要は次のこと。
右の三角形 ABC についてBC=4, CD=3, AB=AC, AD=BD が成り立つ。このとき AB の長さを求めなさい。 |
今回もシンプルながら難しい問題だ…
コマ大数学研究会の挑戦は実際にはしごは使いづらい、ということで風船をつなげたひもを使って調べる。４ｍ離れた２本のひもで三角形を作りひもから３ｍの場所の長さを調べていった。途中で子供が風船を気に入り、入ってくる場面があったが、コマ大は真剣な表情で風船を見つめていた。さあ、答えはいかに…
私も計算を始める。ちなみにこの番組は普段ビデオに撮り、次の日（放送は日をまたぐからその日？）に見ている。今回の回を見たのは寝起きの６時半。まったく頭が回らない。しかしどうにかひねり出した。
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ＡＤの長さをｘとおく。点ＡからＢＣに垂線ＡＰ、点ＢからＡＣに垂線ＢＱを下ろす。そうすると三角形ＡＢＣの面積は
ＡＰ×ＢＣ／２＝ＢＱ×ＡＣ／２ これからＡＰ＾２×ＢＣ＾２＝ＢＱ＾２×ＡＣ＾２ ピタゴラスの定理からＡＰ＾２＝ＡＣ＾２−ＣＰ＾２＝ｘ＾２＋６ｘ＋５ また三角形ＡＰＣと三角形ＢＱＣが相似であることから（ｘ＋３）：ＡＰ＝４：ＢＱ よって ＢＱ＝４ＡＰ／（ｘ＋３） そして… |
時間終了…
しかし私は続けた。
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ＡＰ＾２×ＢＣ＾２＝ＢＱ＾２×ＡＣ＾２に上の式を入れると
ＡＰ＾２×ＢＣ＾２＝１６（ｘ＾２＋６ｘ＋５） |
正解…７．２９１５ｍ
では解説です。
点ＡからＢＣに垂線ＡＦ、点ＤからＢＣに垂線ＢＥを下ろす。
ＡＤの長さをｘ、ＣＥの長さをｙとおく。ピタゴラスの定理から
ＢＤ＾２＝ＢＥ＾２＋ＤＥ＾２
ｘ＾２＝（４−ｙ）＾２＋３＾２−ｙ＾２ ３：ｙ＝（３＋ｘ）：２ → これから → ｙ＝６／（３＋ｘ） 以上からｘ＾３＋３ｘ＾２−２５ｘ−２７＝０ |
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ｘ＝Ｘ−１という変換をすると
Ｘ＾３−２８Ｘ＝０ という式になる。Ｘ＾３−２８Ｘ＝Ｘ（Ｘ＾２−２８）から、この方程式の解は Ｘ＝０、２√７、−２√７。以上からｘ＝−１、２√７−１、−２√７−１ これから、はしごの長さはｘ＋３＝２、２＋２√７、２−２√７ このなかで３以上の長さは２＋２√７（およそ７．２９１５） |
変な目標を立てた東大生２人と同じだった。
どんな一年になるのだろうか…数学とクイズでくつろいで＜数学の部屋＜「コマネチ大学数学科」に挑む＜「コマネチ大学数学科」に挑む・０８年１月
「ミッシングハイカー(1/30)」
「今回は番組中に最短記録ができるかも…」という戸部アナのオープニングの一言。もしや未解決問題？？という予想が見事的中した…
問題：１０ｋｍ四方の正方形の雪原に遭難している遭難者を探しに行く。
遭難者は半径２ｋｍまで届く受信機を持っている。この受信機を頼りに
雪原をくまなく探す最短距離を求めよ。距離は雪原に入るところから測る。 |
| 問題：１０ｋｍ四方の正方形の中を半径２ｋｍの円を移動させて 正方形を全て覆いつくすような移動距離の最短の長さを求めよ。 |
どちらが分かりやすいかは皆様にお任せします。
コマ大数学研究会の挑戦は不思議な液体を使って答えを出す。これらの液体は紙に塗り水をつけるなり、ブラックライトを当てるなりすると色が浮かぶようになっている。この液体を半径２ｃｍの円状のスポンジにつけ、１０ｃｍ四方の正方形の上をなぞりながら最短の距離を求めていった。今回はダンカンさんのつけヒゲも取れかかるほど地道な作業ということで時間は１時間４５分と短めだった。では問題を解いていきます。今回の先週同様、いや先週以上に難問の ようで、マス北野組も東大生組も苦戦している。この問題を解くためには
何？御託はいいから私の答えを見せろ…
分かりました。
赤の線の距離：約 10.142 km 青の線の距離：約 14.343 km 緑の線の距離：約 5.894 km 合計：約 30.379 km |
正解…２９．０８５ｋｍ
マス北野組が行った「角を埋めるための移動」を考えるのは正しかったが、もっと短い距離で角を埋める方法があった。このあとの解説ではロバート・ドーソンの「２９．３１ｋｍ」、トンプソンとセルフが考えた「２９．０８５ｋｍ」を紹介した。しかしこの長さはもう少し短くなるのでは？とのこと…
 左がドーソン、右がトンプソンとセルフが出した移動。入り口と 後半部分がちょっと違う。 |
今回から年が改まった、ということでしょうかタカさんのスタートの合図が変わりましたが、毎回見ていてつくづく思います。
タカさん（いや、たけし軍団の多く）はハイテンションが似合わない。
ま、そこがこの番組のいいところなのでしょうか。数学とクイズでくつろいで＜数学の部屋＜「コマネチ大学数学科」に挑む＜「コマネチ大学数学科」に挑む・０８年１月