問題：右の図において
BE:EC = 1:2, AG:GE = 3:1
BH と AC は直交している。
HI は円の接線,
HI = 4cm, CI= 2cm
であるとき、三角形ＡＢＣの
面積を求めよ。
[PR] この広告は3ヶ月以上更新がないため表示されています。
ホームページを更新後24時間以内に表示されなくなります。
「コマネチ大学数学科」に挑む・０８年４月
最終更新日２００８年４月２６日
フジテレビで深夜に放送されている「コマネチ大学数学科」の問題に解く様子をご紹介します。数学をやってきたので簡単に解ける…と思ったものの…その奮闘振りをお楽しみに。なお、福岡での放送は二週間遅い模様です。そこら辺はご勘弁を。| 「卒業試験(4/2)」 |
| コマ大プレイバック…「虫食い算」いや「覆面算」 |
| コマ大プレイバック…「ラマヌジャン」 |
ご意見がありましたらtfujisaki2006@yahoo.co.jpまでお願いします。
|
問題：右の図において
BE:EC = 1:2, AG:GE = 3:1
であるとき、三角形ＡＢＣの |
お～～！！図形の問題～～
円の接線であることからＢＨＩの角度が直角であるのは分かるが、それ以降は全く分からない…オープニングに卒業式の定番「声掛け」で一ネタ披露したコマ大。続けて今回の出題者、酒井諒さんのデータを紹介。最後のオチ「お姉さんがきれい」でお姉さんが写り「神田うの似」と話していたが、私が見た感じでは作家の山田詠美さんに似ている…再び失礼。今回はコマ大の挑戦はなく、３組のガチンコ勝負、と思いきやコマ大が早々「ギブアップ」の表示。
私もギブアップしたい！！
マス北野組、東大生組ともにすいすいと答えを出している。さらに別室では次回から番組に出演する東大生組２組（もちろん全員女性）が同じ問題を解いている。と、そこへギブアップしたコマ大が登場。なめるように見つめるコマ大に少々困惑する東大生。コマ大がその東大生の似顔絵を披露するが似ているのか似てないのかさっぱり分からない。集中させてくれ！！
結局、何の糸口も見つからず終了。ただ見た感じから「１０平方ｃｍ」と見当をつけた。
| マス北野・ポヌ組の答え | ９√３ | あれこれ定理を使わず、相似の関係を使い求めた。 |
| 東大生の答え | ９√３ | 「チェバの定理」や「メネラウスの定理」などを使い求めた。 |
| 新東大生の答え | ９√３ | こちらも「チェバの定理」や「メネラウスの定理」などを 使い求めた。 |
正解…９√３。私以外全員正解。
実は東大生の解説で「方べきの定理」と聞いて、一気にひらめいた。 ここまで分かる。
方べきの定理から
CI * BI = HI^2
|
|
メネラウスの定理から 1=(AD/DB)*(BC/CE)*(EG/GA) =(AD/DB)*(3/2)*(1/3) = (AD/DB)*1/2 つまり AD:BD = 2:1 次にチェバの定理から 1=(AD/DB)*(BE/EC)*(CF/FA) = (2/1)*(1/2)*(CF/FA) = CF/FA つまり CF = FA このことから三角形 ABF と CBF が合同であることが分かり ∠ABF = ∠CBF また線分 CH を結ぶと、円周角の定理から ∠ABF = ∠HCA となり ∠BFC が 直角であることから ∠BCH も直角。 接弦定理を使うと ∠HBC = ∠CHI = 30度。以上から三角形ＡＢＣは一辺が６ｃｍの正三角形であることが分かり、面積は９√３ |
|
E を通り BF に平行な線を引き CF と交わる点を J とする。このとき CJ:JF = CE:EB = 1:2, AF:FJ = AG:GE = 3:1 これらから AF:FJ:JC = 3:1:2 となり AF:FC = 1:1 であることが分かる。 |
そのあと東大生２人の卒業をなぜか阻むコマ大。出された暗号問題をいとも簡単に解く東大生。
|
「２×５、７×１、４×＊、１×２」→「コマダイ」となるとき 「７ｘ２、２ｘ２、８ｘ２、２ｘ２、２ｘ５ １ｘ１、９ｘ２、２ｘ＊、４ｘ５、１ｘ３」 はどうなるでしょう？ |
出題者の酒井君は無視されていた。
何はともあれ、お二人ともご苦労様でした。数学とクイズでくつろいで＜数学の部屋＜「コマネチ大学数学科」に挑む＜「コマネチ大学数学科」に挑む・０８年４月
コマ大プレイバック…「虫食い算」いや「覆面算」
３月に放送された「虫食い算」の回で覆面算の例として下の２題が紹介されました。
|
解けないというわけではありません。
ここでは右の覆面算を解いていきます。下のように５つの段をＡ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅと記号をつけます。
|
|
|
|
一方Ｅの段を見ると「テ×マ＝？０」となりますので、先ほどと同じく「テ＝５」または「マ＝５」となります。違う文字に同じ数字が入ることはないため、この２つの段から「マ＝５」が分かります。またＢの段の１の位の計算から「テ＝６」となります。
|
|
|
|
|
|
２０年ぐらい前には虫食い算や覆面算の本が多かったですが、最近ではあまり「良い」虫食い算や覆面算の本は見かけなくなりました。しかしインターネットで調べると次の二つのサイトで様々な問題が紹介されています。興味がありましたらご覧ください。
数学とクイズでくつろいで＜数学の部屋＜「コマネチ大学数学科」に挑む＜「コマネチ大学数学科」に挑む・０８年４月
コマ大プレイバック…「ラマヌジャン」
先日買って来ました「コマ大数学科特別集中講座」の中には放送で出題された問題と各組の問題を解く様子がダイジェストで書かれています。最初に書かれてあったのは２００６年８月に放送された「ラマヌジャン」がテーマの問題。
問題：図のように端から順番に１番、２番、３番…と番号の付けられた家が並んでいる通りがあります。この通りにある家の左側に並んでいる家の番号を全て足した数と右側に並んでいる家の番号を全て足した数が等しいとき、その家の番号を答えなさい。 ただし通りの家の数は１０軒以上５０軒以下とします。 |
|
答えの家の番号をｘ、全ての家の数をｘ＋ｙとする。 ｘ番目の家より左に並んでいる家の番号の和は１＋２＋…＋（ｘ－１)＝ｘ（ｘ－１)／２
ｘ番目の家より右に並んでいる家の番号の和は（ｘ＋１）＋（ｘ＋２）＋…＋（ｘ＋ｙ）＝ この２つの値が等しいことから ｘ（ｘ－１)／２＝ｘｙ＋ｙ（ｙ＋１）／２ これをまとめると ｘ＾２－ｙ＾２－２ｘｙ－ｘ－ｙ＝０ この式をｘの２次方程式と見ると、ｘは整数であることから判別式は平方数でなければいけない（この文章の意味の分からない方は飛ばしてください）。 |
さて、ここで番組内での様子を本から一部引用して載せておきます。青の部分が本からの引用部、赤の部分は私のツッコミです。
|
コマ大チーム…「ラマヌジャンといったらインド。インドといったら高円寺、高円寺といったらルック商店街です。」ということでルック商店街で検証を開始。 （インドといったら高円寺…なんでやねん！！） コマ大が二手に分かれて商店街の両端から番号を足し合わせて同じになる地点を探す。しばし苦戦したときにここで登場アタルチャンス。見事に答えにたどり着いた。 コマ大チームの答え…「答えは須藤葬儀社の３５軒目です」
マス北野…「オレはいいところに気づいたんだよ。８まで全部足すと３６なんだよ。これは６の二乗なんだよ」 マス北野の答え…「３５軒目」
東大生チーム…マス北野と同じ計算によるａ、ｂの組み合わせを探していた。しかし… |
正解…もうお分かりでしょう、３５軒目です。
この後の竹内先生の解説でさらに謎が深まった。
|
竹内先生「マス北野の解法より、さらにもう一歩美しいものがあるんです。実はラマヌジャンはこれを連分数という方法を使って解きました。」 「連分数」とは分数の分母または分子に分数が入っているものを指す。今回の問題では次のような分数を使って考える。
|
さて、これまでで出てきた２つの謎についてさらに詳しい解説をしていきます。まず今回の問題とマス北野が話していた「８まで全部足すと３６なんだよ。これは６の二乗なんだよ」の言葉、そして ａ＾２＝ｂ（ｂ＋１）／２ の式との関係を考える。
|
最後の家の番号ｂをａ＋ｃと置いてみる。そうすると上の式は
ａ＾２＝（ａ＋ｃ）（ａ＋ｃ＋１）／２ これを変形するとａ＾２－ｃ＾２－２ａｃ－ａ－ｃ＝０ ａをｘ、ｃをｙに置き換えると、私の計算で最後に出てきた式であった。 |
私にはこのひらめきは無理！
さて、もう一つの謎、竹内先生の解説で出てきた連分数とこの問題との関係はどのようなものか。この内容はここに書くには難しいため、詳しく知りたい方はこちらをご覧ください。⇒ＰＤＦファイルですがどうぞところでラマヌジャンとはどのような数学者か？解析学の分野で多くの功績を残していまして、数々の数式を生み出しました。特に円周率を求める数式を数多く残しています。しかし証明がないため正に「閃きの人」という印象で名前が知られています。 このときマス北野はまだ一人で奮闘中。とはいえこの閃きは驚きです。コマ大は東大生組が入れ替わってまもなく新学期スタートとなります。
福岡では５月から新学期スタートです。
数学とクイズでくつろいで＜数学の部屋＜「コマネチ大学数学科」に挑む＜「コマネチ大学数学科」に挑む・０８年４月
