地球を中心に同心円状を回る３つの人工衛星。衛星１は３日間で軌道を１４周、衛星２は３日間で軌道を６周、衛星３は３日間で軌道を２周する。１月１日の午前０時に３つの衛星が地球とともに一直線に並ぶとき、次に地球とともに一直線に並ぶのは何月何日の何時か？
「コマ大数学科」に挑む・０８年５月
最終更新日２００８年６月８日
フジテレビで深夜に放送されている「コマ大数学科」の問題に解く様子をご紹介します。数学をやってきたので簡単に解ける…と思ったものの…その奮闘振りをお楽しみに。なお、福岡での放送は二週間遅い模様です。そこら辺はご勘弁を。| 「人工衛星(5/1)」 |
| 「等積分割(5/8)」 |
| 「デュードニー(5/15)」 |
| 「シュタイナー(5/22)」 |
| 「デュードニー Part 2(5/29)」 |
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地球を中心に同心円状を回る３つの人工衛星。衛星１は３日間で軌道を１４周、衛星２は３日間で軌道を６周、衛星３は３日間で軌道を２周する。 １月１日の午前０時に３つの衛星が地球とともに一直線に並ぶとき、次に地球とともに一直線に並ぶのは何月何日の何時か？ |
こんな問題聞いたことはあるんだけどな…
これまでの私の問題を解く様子を見てお分かりだと思いますが、問題は聞いたことはあるけど解き方を覚えていないのが多いです。なぜなら…忘れていても、解けば答えが出るから。
コマ大チームの挑戦は、おなじみ（？）吉田プロデューサーが太陽…いや地球になり、コマ大の３人が人工衛星となり問題の通りの周回の速度で回り、それを真上から撮影していた。しかし３人は別々に撮影しているため一直線に並ぶ所が分からない。そこでデジタルの力、登場。３つの映像を合わせて３人が同時に動くように編集した…しかしこの作業はテレビ局のスタッフが担当。コマ大はトレンディドラマ全盛期の石田純一を思わせるようなディレクター姿で登場。あれこれ指示は出しているが、スタッフは無視していたのでしょう。出来上がった映像はどのようなものか。
さて、新東大生の初陣が始まった…と思いきやいくつかの計算をして、あっという間に答えを出した模様。これには目の大きい戸部アナの目が更に飛び出るほど驚いた。プチ情報に受け答えをする東大生、ＤＶＤの中身を紹介するコマ大、そして取り残されたようなマス北野とポヌさん。マス北野にとって新東大生はかなりの強敵かもしれません。
ではこの問題を解いてみます。まず問題の人工衛星は
３日で１４周、６周、２周する
というわけですので、半分の時間で考えると１日半で７周、３周、１周する
というわけですので、１日半経った翌日２日の午後１２時に一直線に並ぶことが分かる。しかし、もっと早い時間に並ぶことはないのか？マス北野がチラッと東大生の答えをカンニングしてつぶやいた「１日の午後６時」を確かめようと思ったところでタイムアップ。各組の解答はご覧の通り
| コマ大チーム | 元日午後６時 | ３人の映像を合わせて得た答え。 無駄な演出もちょっとあった。 |
| マス北野 ポヌチーム | ポヌさん：２日午後５時 マス北野：元日午後６時？ | それぞれ計算して出た値…と思う。 |
| 東大生チーム （理V） | 元旦午後６時 | 人工衛星の速さの差から人工衛星が 重なる時間を求めた |
正解…元日午後６時
東大生がどのようにして求めたか、３日で１４周する人工衛星と２周する人工衛星を比較すると、
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３日＝７２時間で１４−２＝１２周の差が付く。ということは １周の差が付くのは７２／１２＝６時間（１／４日）後。 |
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３日＝７２時間で１４−６＝８周の差が付く。ということは １周の差が付くのは７２／８＝９時間（３／８日）後。 |
一方、コマ大はどのようにしてあの映像を作ったか…
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コマ大が東大生チームの答えが「元旦（主に元日の午前中を指す）の午後６時」と書かれている、との指摘があったが、計算は正しかったため東大生チームにコマ大フィールズ賞が渡った。さて、再度ＤＶＤの話。値段が高いのが問題だったが、一つ策はある…
ＢＯＯＫ ＯＦＦで売られるまで待つ。
いずれにせよ、買うかどうかはしばらく考えます。数学とクイズでくつろいで＜数学の部屋＜「コマ大数学科」に挑む＜「コマ大数学科」に挑む・０８年５月
「等積分割(5/8)」
先週に引き続き新東大生が登場。東大生はどのような人たちか、という質問に「シャツをズボンの中に入れてる」と答える…シャツをズボンの中に入れて、何が悪いか！！
問題：一辺が１００ｍの正三角形を |
今回もまたシンプルな問題…
コマ大の挑戦、今回はゴルフ練習場で問題を解く…どうして？まず飛んでくるゴルフボールを集めることから始まった。だから、どうして？？しこたま集めてきたゴルフボールのうち半分に赤いマークをつけ、正三角形の枠に赤と白（マークのないボール）を同じ数だけ埋めて２等分する形にする。そしてその境目の長さを測る…という仕組み…な〜〜るほど。数学的の言葉を使えば連続的な値を離散的な値を元に計測する
ということ。分かる人は分かると思います。それにしてもゴルフ練習場の営業中にボール集めをしていたのでお客さんも大変だったでしょうね…コマ大に当てるように打つのは
さてこの問題、単純に正三角形の垂線を引いて２等分すると垂線の長さは５０√３ｍ、およそ８６．６ｍになります。もちろんですがこれよりも短い答えがあります。実はこの問題、私知ってました。下の図のように円周の一部を使って正三角形を２等分すれば最短の長さになります。
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| コマ大チーム | ７１．８ｍ | ゴルフボールを使って求めた。 しかしわずかに誤差があった。 |
| マス北野 ポヌチーム | ７０．８２ｍより短い？ | 二等分の線が直線として計算。 |
| 東大生チーム （理T） | ６７．３２１６ｍ | 私の方法と同じ計算をした。 |
正解…６７．３３ｍ
正解者はいないのか？と思ったら「計算途中で誤差も出てきますが、計算があってますので正解です」という中村先生のお言葉で東大生チームは正解。ついでに私も正解。中村先生の解説では正三角形を６個並べて正６角形にすると中心の囲まれた部分が全体の半分になれば良いわけです。
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というわけで先週に続いて東大生チームがコマ大フィールズ賞をもらった。番組の最後に「コマ大チームはいらない。東大生チームだけでいいよ」と話していましたが、ここ２週苦戦しているだけに、そんなことを言うと痛い目にあいますよ。
数学とクイズでくつろいで＜数学の部屋＜「コマ大数学科」に挑む＜「コマ大数学科」に挑む・０８年５月
「デュードニー(5/15)」
問題：正三角形を４つの部分に切り分け正方形に並べなおしなさい。
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またまたシンプルな問題…
そして
先週に続いて正三角形の問題…
今回のコマ大の挑戦…はお休み。残念。しかし、マス北野組、東大生組と共にスタジオで問題を解いていきます。今回の問題オープニングで解説の竹内先生が「超難問」と話したとおり、３組とも苦戦している様子。
実は先週同様、この問題私は知っていました。下の図のように切れば正方形が出来上がります。
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寸法が分からない。
とりあえず上の図を見て
| ＡＤ＝ＢＤ＝１、ＡＥ＝ＣＥ＝１ |
今回は超難問ということで竹内先生はたくさんのヒントを出した。
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・ハサミは３回使う。 ・出来上がる正方形の一辺を計算する。 ・正三角形の中点を使う。 ・正方形の４つの直角を作る。 |
人数で勝負のコマ大チームもやはり苦戦。しかし最終ヒントを出されると「あたるチャンス」ならぬ「ダンカンチャンス」が到来。正方形…のように並べることができた。しかし一言
どう切ったか忘れちゃった…
今回は各組の解答は省略します。この場で解答を再現するのは不可能ですので。ご了承ください。さて、４つに切り分けるにはどのようにすればよいのでしょうか。まず出来上がる正方形の一辺の長さを計算すると。
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手順１：ＡＢの中点ＤとＡＣの中点Ｅについて、ＤＥを半径とする円を描く。 |
最終ヒントからいかに正方形に近い形を作れるか、というチキンレース状態になった今回の問題。コマ大チームは正方形の一辺の長さに沿って切ったためはみ出た部分ができた。東大生チームは正解に近い４片に切り分けたように見えるがちょっと形がいびつ。というわけでほぼ僅差で正方形に近い形を作り上げたマス北野・ポヌチームがコマ大フィールズ賞をもらった。最後にマス北野がポヌさんに「ナイル川を下ろう」と話していましたが、
ベナンはナイル川では行けませんよ
数学とクイズでくつろいで＜数学の部屋＜「コマ大数学科」に挑む＜「コマ大数学科」に挑む・０８年５月
「シュタイナー(5/22)」
コマ大数学研究会部長、ダンカンさんが転倒事故で入院という話から始まったコマ大…そんな話あったなあ… 何しろ１ヶ月以上も前の話だから。入院中の困った見舞い客として「ローラースケートを贈った無法松」「見舞い早々合掌をしたタカさん夫婦」そして「一日中病室にいたＤｒコバ（小林先生）」の話があった。最近、病院で怒鳴ったり暴れたりする「モンスター患者」というのが問題になってるが「モンスター見舞い客」というのもいるんですね…
 問題：一辺が１の立方体を最も短い長さの線で切り開け。 その展開図と長さを求めよ。 |
またまたまた今回もシンプルな問題…
今回のテーマ「シュタイナー」はスイスの数学者。計算が嫌いで図形などで研究を進めた、とのこと。私も名前は何となく覚えていた。コマ大の挑戦はダンカン部長が入院でいなかったため、３人で挑戦。おまけにコマ大のロケ恒例の大荒れの天気。訪れたのは千葉県の金谷町。ここで地元の人に協力して切り取る線が最も短い展開図を考えてもらう。立方体のかぶり物をした無法松に真面目に話しかける〆さばアタルがちょっと面白かった。
立方体を普通に切り開くと線の長さは７になる。しかしそれよりも短く切り開く方法があるはず。「切り開く線は辺の上になくても良い」というアドバイスを元にあれこれ考えていった。先ほどのコマ大の挑戦で無法松の顔の上をバッテンに線が入ったときに私はひらめいた。
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そう！これこれ！
（これを「ギザギザ型」と名前をつけます）私も同じ図を描いていたが、先を越されてしまった… 続いてマス北野の図が映し出された。
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そう！これこれこれこれ！
（これを「Ｈ型」と名前をつけます）さっきの切り方は上下を×の形にした。でも、上下をこの切り方にすると一番短いんだよ…と心の中で叫んだ。叫んでいる暇なんてない。長さを計算しよう…と計算をしたもののさっきのものよりも短くならない。これは違うのかな…残念ながら時間切れとなった。各組の答えはご覧の通り
| コマ大チーム | 上の十字架型の展開図。 長さ約６．８２８ | 回転寿司の板前さんが考えた切り方 |
| マス北野・ポヌ組 | 上のギザギザ型の展開図 長さ約６．６５６ | ポヌさんが求めた展開図。 マス北野が描いた図では最短にはならなかった…？ |
| 東大生チーム （理V） | 上のギザギザ型の展開図 長さ約６．６５６ | 着実に理論を進めて求めた。 |
正解は…別の展開図！！
残念ながら正解者はなしと厳しい結果に。実はマス北野が描いたＨ型の切り方は間違っていなかった。しかし、マス北野は十字架型の展開図でその切り方を考えていたため短い答えが出なかった。ギザギザ型の上下をＨ型にすると…
 （左の展開図で赤線を１本入れ忘れていました。ごめんなさい 2008/5/27） |
解説で今回の解答に出てきたＨ型の線の結び方について話があった。いくつかの点をなるべく短い長さの線でつなげる方法を考えたい。そのとき更にいくつか点を加えて、その新しい点を使って線を結ぶと線の長さを短くできることがある（上の図では黄色の点がそれにあたる）その新しい点を「シュタイナー点」と呼ぶ…そういえばそんな点を聞いたことあったなあ。もし今回のテーマ「シュタイナー」から「シュタイナー点」を思い出すことができたら、もう少し早くこの問題が解けたはず。しかし、今回正解が出せなかった大きな原因は
マス北野の図をカンニングしたからでしょう。
バチが当たりました…数学とクイズでくつろいで＜数学の部屋＜「コマ大数学科」に挑む＜「コマ大数学科」に挑む・０８年５月
「デュードニー Part2(5/29)」
４月の放送からこの番組の名前が「コマネチ大学数学科」から「コマ大数学科」と変わっている。コマネチさん本人からクレームが来たのでしょうか。福岡での放送では５月からに当たるため、５月以降の内容の名称を変更いたします。それ以前は変わらず「コマネチ大学数学科」という名前で載せていきます。
 問題：図の正方形と直角二等辺三角形をなるべく少ない回数で切り、大きな正方形に並べなおしなさい。 |
この２つの図形の大きさは自由ですが、同じ切り方で正方形を作ることができます。
待ってましたその言葉。２つの図形には関係があるのか分からなかったため解くための糸口が分からなかった。今回、コマ大の挑戦は解答の時に放送されたが、ここではお先に書いていきます。前回は千葉県金谷町で問題を解いていきましたが、今回のロケの場所は
千葉県金谷町！！
ダンカン部長は（入院で）欠席、しかも悪天候と明らかに前回に続いてのロケと分かる状況で問題を解いていく。今回訪れたのはとある裁縫工場。問題の正方形と三角形の形の布を使い大きな正方形に縫い直す、という方法。さて、私の考えです。先ほどの竹内先生の一言から、２つの形の寸法と切り方は関係がないということに気付いた。とりあえず出来上がる正方形の辺の長さを考えよう。
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直角三角形を正方形に変えて、２つの正方形を合わせて切る。
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ここで私は終わったかもしれないが、この日の私は違っていた…いまの図をもう一度見直す。
 直角三角形はそのまま正方形と合わせて切る。 |
それでは各組の解答です。
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| コマ大チーム | 上の左の図。直角三角形を細く切り正方形の周りにつけた。切る回数は６回。 |
| マス北野・ポヌチーム | 上の中央の図。私と同じ切り方。切る回数は２回。 |
| 東大生チーム | 上の右の図。直角三角形は切らず（図の紫の部分）正方形を３つに切る方法。切る回数は２回。 |
正解は…マス北野組の切り方！
竹内先生が用意していた解答はマス北野・ポヌチームの切り方だった。しかし、用意した紙の寸法の関係で東大生チームも正方形が完成し、切る回数も２回だったのでこちらも正解となった。このあと問題の解説が行われましたが、内容は上で述べた私の考えにほぼ合致しています。今回の問題は正方形が三角形より大きかったですが、三角形が大きい場合を考えると３回は必要かもしれません。
 直角三角形が大きいときは切る回数は３回？ |
無法松チャンスは来るのでしょうか
乞うご期待です？数学とクイズでくつろいで＜数学の部屋＜「コマ大数学科」に挑む＜「コマ大数学科」に挑む・０８年５月