問題：図の三角形ＡＢＣについて
∠ＢＡＣ＝２０°∠ＤＢＣ＝３０°
∠ＢＣＥ＝４５°ＡＢ＝ＡＣ
であるとき∠ＤＥＣ、∠ＥＤＢの角度を求めなさい。
「コマ大数学科」に挑む・０８年７月
最終更新日２００８年８月１７日
フジテレビで深夜に放送されている「コマ大数学科」の問題に解く様子をご紹介します。数学をやってきたので簡単に解ける…と思ったものの…その奮闘振りをお楽しみに。なお、福岡での放送は二週間遅い模様です。そこら辺はご勘弁を。| 「謎の難問(7/3)」 |
| 「物理学(7/10)」 |
| 「２１(7/17)」 |
| 「回転(7/24)」 |
| 「正方形(7/31)」 |
ご意見がありましたらtfujisaki2006@yahoo.co.jpまでお願いします。
「謎の難問(7/3)」
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問題：図の三角形ＡＢＣについて ∠ＢＡＣ＝２０°∠ＤＢＣ＝３０° ∠ＢＣＥ＝４５°ＡＢ＝ＡＣ であるとき∠ＤＥＣ、∠ＥＤＢの角度を求めなさい。 |
この手の問題は解いたことが無い。
問題の送り主に聞いたところ３０年近く答えが出ない問題で、なぜか「東大入試に出た」「ノーベル賞受賞者が考えた」などの都市伝説が生まれた、とのこと。この問題を解決すべく、到底解けそうに無いコマ大チームが向かったのは河合塾の数学の講師、岡田順一さん。その次に向かったのは「数学オリンピック金メダリスト」「第１回マス１グランプリ優勝」そして「現役東大生」の西本将樹さん。 しかし、河合塾の講師でも金メダリストでも途中までは計算できるもののこの難問を打ち崩すことができなかった。やはり伝説なのか…
残る手段はコンピューターで計算をする手段。すると
Ｘ ＝ 21.71416…
Ｙ ＝ 53.28584…
？？？？何という中途半端な値。おそらくこの問題は手計算では答えを出せない、という結論に至った。そこで今回はこの問題の角度を変えたこの問題に挑む。
 問題：図の三角形ＡＢＣについて ∠ＢＯＣ＝２０°∠ＤＢＣ＝６０° ∠ＡＣＢ＝５０°ＯＢ＝ＯＣ であるとき∠ＡＤＢの角度を求めなさい。 |
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上の右の図のように辺ＣＤ上に∠ＥＢＣ＝２０°となる点Ｅを取る。そうすると三角形ＡＢＥは正三角形になる。
正三角形になることは何となく分かるがその後は…私は完全に詰まった。仕方なく問題の図を見ながら目測で「３０度」という解答を出した。
| コマ大チーム | ２９度 | ４人が実際に図を描き分度器で角度を測った結果の平均。 |
| 東大生チーム | ３０度 | 中村先生のヒントから角度を求めた。 |
| マス北野・ ポヌチーム | ４０度 | 同じく中村先生のヒントから角度を求めたが、 計算間違いが… |
正解…３０度。東大生チーム正解！
ちなみに、コマ大チームはバンビーノ小林が分度器で３０度を測ったが、平均でずれてしまった。残念。解説は以下の通りです。
 図１：三角形ＡＢＣは角Ａと角Ｃが共に５０°であることから二等辺三角形である。 このことからＢＡ＝ＢＣが分かる。 図２：三角形ＢＣＥは角Ｃと角Ｅが共に８０°であることから二等辺三角形である。 このことからＢＣ＝ＢＥが分かる。 また三角形ＡＢＥはＢＡ＝ＢＥ，角Ｂが６０°であることから正三角形である。 このことからＢＥ＝ＡＥが分かる。 図３：三角形ＢＥＤは角Ｂと角Ｄが共に４０°であることから二等辺三角形である。 このことからＢＥ＝ＤＥが分かる。 図４：ＡＥ＝ＤＥであることから三角形ＡＥＤは二等辺三角形である。 角Ｅは４０°であることから角Ｄ（＝角ＡＤＥ）が７０°となり 角ＡＤＢ＝７０°−４０°＝３０° |
今回は正解を出した東大生チームにコマ大フィールズ賞が渡った。 私は角度を書くだけ書いて最初の三角形ＡＢＣが二等辺三角形になることすら気付かず、コマ大方式で正解を出しました。まだまだ修行が足りません。
数学とクイズでくつろいで＜数学の部屋＜「コマ大数学科」に挑む＜「コマ大数学科」に挑む・０８年７月
「物理学(7/10)」
 例題：体重６０ｋｇの人が図のように滑車を使い自らを持ち上げるためには何ｋｇの力が必要か。 |
 ロープを巻きつけると６０ｋｇ？ |
 問題：身長１６０ｃｍの人が鏡を使い自らの全身の姿を見るためには鏡の上下の長さは最低何ｃｍ必要か。また、そのときの鏡と人との距離も求めなさい。 |
これも聞いたことのある問題だ。
確か多湖輝さんの「頭の体操」にあったはず。答えは８０ｃｍ…だったよな…私の苦悩はさておいて、コマ大の挑戦。今回コマ大が最初に向かったのは国立科学博物館。ここで展示されている「身近な科学」というところに行った。 ここには例題で出されたような滑車の実験や、光のトリックで作られる「見えない壁」などがある。コマ大は遊びたいだけ遊ぶ…問題はどうなったの？
というわけで今回の問題の検証はいつものスタジオで行われた…
さっきの博物館はなんだったんだ。
「身長１６０ｃｍ」のお宮の松を鏡に映したとき全身の姿を見られる鏡の上下の長さを調べる。実は「鏡と人との距離」の関係は知っていましたが、やはり実際に見るとその関係に驚きます。詳しくは後ほど。さて、「鏡は８０ｃｍで十分」というのは覚えていたが、どうしてだったかを思い出していると戸部アナの実況が聞こえてきた。「マス北野が芸術的な絵を描いています」 描いているのは鏡の両端に人が立っている絵。
驚くほど芸術的とは思えなかった。
一方の東大生チームも鏡の両端に人が立っている絵を描き、答えの説明を考える。その間ポヌさんの不思議な不思議なキリンの絵に始まりいつの間にかキリンをうまく書けるか、という競争になった。さらに「血管フェチ」と発言した東大生、生駒さんに触発されなぜか「血管浮き出し大会」になる…むなしく時間は過ぎた…
それでは各組の答えです。
| コマ大チーム | ８１ｃｍ | 検証の結果。さらに人と鏡の距離は関係なく８１ｃｍ あれば姿を見ることができることを実証。 |
| マス北野・ポヌチーム | ８０ｃｍ | 頭と足元を見るために必要な鏡の長さを求めると ちょうど身長の半分で十分。 |
| 東大生チーム | ８０ｃｍ | 上の考え方と同じ。 こちらは入射角、反射角の関係を使い説明。 |
正解…８０ｃｍ。
マス北野・ポヌチームと東大生チームは正解。コマ大は１ｃｍの違い…と、ここでお宮の松の一言「身長は１６２ｃｍ」コマ大はお宮の松に振り回されてたが、見事に身長の半分を計測。これはある意味素晴らしい。今回の問題の解説は次の通りです。
 鏡で頭の上を見るためには、目と頭の半分の高さの鏡が必要。 (上の赤線の部分) 鏡で足元を見るためには、目と足の半分の高さの鏡が必要。 (下の赤線の部分) つまり全体を見るためには鏡の高さは身長の半分、８０ｃｍは必要である。 しかも、この鏡の高さは鏡と人との距離には関係しない。 |
竹内先生ごめんなさい。
数学とクイズでくつろいで＜数学の部屋＜「コマ大数学科」に挑む＜「コマ大数学科」に挑む・０８年７月
「２１(7/17)」
今回のテーマは「２１」。オープニングではコマ大のスタッフに「２１」と聞いて思いつくことはというアンケートの結果を発表。１位は「ブラックジャック」…確かにそうだよな。その他ありましたが少々マイナーな回答がありましたので少し解説を…
 問題：図の丸の中に５つの数字を入れ、隣り合う数字を和が１から２１まで作られるようにしなさい。 （１個の数字の数も５つ全ての数字の和も「隣り合う数字の和」として考える） |
な〜〜んだ、今回は簡単だ。
まず、１は入れなければいけないから入れて、２も必要だから入れて、そして…ん、できない？？？何か間違えたかな？
コマ大はまずは公園に行き空き缶を集め始めた。その後、いつものスタジオに戻り缶を縦につなげて、空き缶の柱を作る。同じ高さの柱の使い問題の条件が成り立つようにおいて１缶から２１缶の高さの柱を作り上げることに挑む。
「今回はすぐに終わるでしょう」という言葉を発したお宮の松。しかし彼は柱を作る役。慎重に倒れないように柱を作るがたびたび失敗。しかも問題の条件が合わないと一からやり直し…「すぐに終わる」の言葉とは裏腹に５時間を越える検証時間だった。空き缶集めの時間も含むのか？
まず、「隣り合う数字」は全部で何通り作ることができるかを考える。
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「数字１個」から「隣り合う数字４個」までの 各個数で５通りの選び方がある。 さらに「５つ全て選ぶ」方法もあるため全部で |
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和が一番大きくなるのは「５個全ての和」⇒５つの数字の和は２１ 次に、大きい数の和については以下の考え方を使う。 例えば「１５」を作るときは２１から１５を引いた「６」の和を作るときに 選ばなかった数字を全て選ぶと和が「１５」になる。 つまり、和が２１になる５つ数字を入れて、１から１０までの和を作ること ができれば１１以降もできる。 
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ここまでは分かってるんだけどな。
ダンカン部長が話していた「罠にはまってしまった」のか。その上マス北野、東大生両チームも答えを見つけた。いよいよ焦る…降参。 今回は全員答えが揃いました。
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正解はもちろん上の数字の並びである。解説では最初に丸の中に入れる５つの数字を見つけて、条件に合う並び方を探すという方法を紹介。そうすると答えはこの並び一通りしかないことが分かる。コマ大フィールズ賞はきちんとした解説をした東大生チームに渡った。
悔しかった。今回はとにかく悔しかった。ただそれだけである…
数学とクイズでくつろいで＜数学の部屋＜「コマ大数学科」に挑む＜「コマ大数学科」に挑む・０８年７月
「回転(7/24)」
地震情報で「コマ大」の放送がなくなってしまった。
さて、今回放送されなかった分が時間を変えて放送されるのか分からない状態である。そこで今回はお世話になっているブログガスコン研究所で問題をちょっと拝見して解いていきたいと思います。
 問題：図のように並べた同じ大きさの円の周囲に沿って赤の円が滑らず一周したとき、赤の円は何回転するでしょう。 |
では私の苦悩を書いていきたい、と思いますが、このページを見ている人の中には「私は本当は答えを先に知っているのにわざと間違えているんじゃないの」と思われているんじゃないでしょうか。そんな方々に納得してもらえるかどうか分かりませんが、今回は私がこの問題を解くために紙に書いた図をお見せしたいと思います。どうぞ！！
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何を書いているかさっぱりわからないと思います。
おまけに広告の裏を使っています。わからないと思いますのできれいに書き直した図をお見せします。
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そうすると問題の状態では円が一周する間に図の紫の部分を通ります。この部分の長さは１１／６。これから答えの円の回転数は２倍の１１／３、つまり３回転と２／３回転です。念のため円を動かした様子を描いたものが左の円がたくさんある図です。
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| コマ大チーム | ３回転と２／３回転 | 検証の結果。 |
| マス北野・ポヌチーム | １１／６回転 | 一周の円の中心の軌跡の長さから求めた。 |
| 東大生チーム | １１／６回転 | こちらもマス北野チームと同じ考え。 |
正解…３回転と２／３回転。コマ大チーム正解！
すっかりお馴染みになった「秒殺シスターズ」こと東大生の衛藤・伊藤ペアも、今回の問題の引っ掛けに見事に引っかかったようです。しかし、この問題はコマ大チームのように実際に円を動かしてみないと分からないのかもしれません。今回は正解を出したコマ大チームにコマ大フィールズ賞が渡った。私も答えを出すことができて素直に嬉しかったです。ん〜〜もしかしたら
番組見ないで解いたほうが解けるのかな…
改めて考えてみる。
なぜ１周する時の接点の距離の２倍の回転数になるのだろうか…
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「円を回転させずに移動」と「円を移動させずに回転」である。
平らのところで転がす場合は
「円を回転させずに移動」させても円自体は回転していない。
「円を移動させずに回転」させて円は半回転する。
「円を回転させずに移動」させたら円は半回転する。
「円を移動させずに回転」させたら円はさらに半回転する。
⇒結果として転がった円は１回転したことになる。
数学とクイズでくつろいで＜数学の部屋＜「コマ大数学科」に挑む＜「コマ大数学科」に挑む・０８年７月
「正方形(7/31)」
先週は地震情報のため放送がお休み。時間を変えて放送があるか、とわずかな望みを持っていたが放送はなかった。今回のテーマは「正方形」…ん？ Yahoo! のテレビ欄では「マッチ棒」って書いていたぞ！ま、放送があるだけでもありがたいかな。
 問題：図のように棒を並べられている状態から全ての正方形をなくすには最低何本の棒を取り除く必要があるか？ |
見たことはあるけど解いたことのない問題の登場です。
マス北野が頓智を聞かせて（これも私語に近い）「１本のマッチで全部を押し流しちゃう」と答えたけど、それなら手で押し流せば０本で済むでしょ…そんなことはどうでもいいんです。コマ大の挑戦。コマ大が訪れたのはとある木材店。何をするかはもうお分かりでしょう。今回の問題を角材を使って解いていきます。木材店の一角に問題の通りに角材を並べて問題を考える。と、いきなり正解が出たのか、かなり少ない本数で正方形をなくすことができた…みたい（何しろコマ大メンバーのどアップばかりだったので）しかし、更に考えるコマ大。ときに角材の声を聞きながら（？）更に少ない本数の答えを導き出した。
私も問題に挑む。問題の図では小さい正方形が１６個並んだ状態だが、小さい正方形を４個、９個組み合わせた大きい正方形、更には外側の大きい正方形もなくすように棒をとらないといけない。とりあえずコマ大の挑戦もヒントにしながら考えてみる…
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私もマッチ棒が欲しい。せめて角材でも…
と、悩んでいる間に時間切れ。各組の解答はこちら
| コマ大チーム | ９本 | 検証の結果。 |
| マス北野・ポヌチーム | ９本 | マス北野がマッチ棒を並べながら導いた答え。 |
| 東大生チーム | １０本 | こちらも試行錯誤の結果。 元の正方形が小さいところから規則性を考えた。 |
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正解…９本。コマ大チーム、マス北野チーム正解！
この問題を見て規則性はないのではないか、と高をくくっていたが規則性があることをその後の解説で話していた。
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