「コマ大数学科」に挑む・０８年８月

最終更新日２００８年９月２１日

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「自然数(8/7)」

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「白銀比(8/14)」

問題：Ａ４の紙を図のように２回折ったときの四角形ＢＣＤＦの面積を 求めなさい。なお、紙の横の幅は１０ｃｍとする。

　私は開いたときの２つの三角形の面積を求めることから始めた…上の三角形ＡＤＥの面積は５０平方センチメートルとすぐに分かる。下の三角形ＤＣＦの面積は…　

　コマ大は白銀⇒しろがね⇒雪という連想で常設のゲレンデ場で問題に挑む。ゲレンデの上に問題の長方形を拡大した形にひもを張って問題の折り方でできる折り目にひもを張る。出来上がった大きな四角形の面積を測るために登場したのは新兵器…

要は無法松がロボット風な格好で登場した。段ボールで体を作ったその姿…「欽ちゃんの仮想大賞」だったら即失格でしょう。やはり何の役にも立たず結局はコマ大おなじみの「目分量」で面積を測った。

　残り二組の状況ですが、「秒殺シスターズ」衛藤、伊藤の東大生コンビは久しぶりの「秒殺」ぶりを発揮。即座に答えを出した。そして一言…

一方マス北野もすぐに答えを出したが、どうやら違う模様。おなじみの（？）カンニングをするものの別の答えは出せなかった模様。

　私も先ほどの続きとして残りの三角形ＣＤＦの面積を考える。∠ＣＤＦ＝２２．５°、つまり４５°の半分…これは強攻策「半角の定理」を使うのかな？この定理を使って出した答えはご覧の通り。

四角形ＡＢＣＤの面積	１００√２
三角形ＡＥＣの面積	５０
三角形ＤＣＦの面積	５√１０＋５√２
以上より
四角形ＢＣＤＦの面積	９５√２−５０−５√１０

コマ大チームの答え	４９．８９平方ｃｍ	検証の測定結果。「しくはっく（四苦八苦）」 のダジャレつき。お後がよろしいようで？
マス北野・ポヌ チームの答え	７５√２−５０ （マス北野） ７０．２（ポヌ）平方ｃｍ	四角形を２つに分けて考えた
東大生チームの答え	５０平方ｃｍ	ＢＦ、ＣＦの長さを求めてから面積を求めた。

私の目測はやはり当てにならない…それはともかく、東大生の解答はご覧の通り。

　今回は文句なしで東大生チームにコマ大フィールズ賞が渡った。さて、なぜ私の計算で「√１０」という謎の値が出てきたのか。改めて見直すと…

ＤＣ：ＦＣ＝１：ｘと置くと、ｘは ｘ＾２＋２ｘ−１＝０ が成り立つこれから ｘ＝√２−１となるはずなのに ｘ＝√５−１となってしまった。

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「魔方陣(8/21)」

１０ 　 　８ 　９ 　 　７ 　 　 １５ 　 　１ 問題：四角に１から１６までの数字を一つずつ入れ、縦・横・対角線の４つの数字の和が等しくなるようにしなさい。またこの魔方陣の特徴をできるだけ挙げよ。

　コマ大の挑戦。今回は特別スポンサーが登場！それは「タイガー魔法瓶」 …ん？「魔方陣」だから「魔法瓶」か？…さすがにあいた口がふさがらなかった。検証方法は普通に問題を解く、という正攻法。しかし、タイガーさんの広報の方も参加し、解答できれば新商品の宣伝ができる。
　いち早く魔方陣を完成させたのは〆サバアタル。広報の人、残念。しかしこの後の魔方陣の特徴さがしで活躍し、見事に新商品の電気釜…古いな…ＩＨ炊飯ジャーの宣伝をした。

　今回はいたってシンプルな問題であって、マス北野・ポヌチーム、東大生チームは即座に魔方陣を完成。問題は後半の「特徴探し」私も数字を埋めていく。とりあえず各列の和が３４になることが分かるので左上のマスに「１６」が入るのが分かる。次に下の列と左の列のそれぞれ２マスにどの数字が入るかを考えると次のようになる。

１６ 　 　 　 5,4,3 １０ 　 　８ 　９ 　 　７ 　 4,5,6 １５ 14,13,12 　１ ３つの可能性がある。

１６ 　３ 　２ １３ 　５ １０ １１ 　８ 　９ 　 ６ 　７ １２ 　４ １５ １４ 　１ できた！

１６ 　３ 　２ １３ 　５ １０ １１ 　８ 　９ 　 ６ 　７ １２ 　４ １５ １４ 　１ １６ 　３ 　２ １３ 　５ １０ １１ 　８ 　９ 　 ６ 　７ １２ 　４ １５ １４ 　１ １６ 　３ 　２ １３ 　５ １０ １１ 　８ 　９ 　 ６ 　７ １２ 　４ １５ １４ 　１ 同じ色の４つの数字を足し合わせても３４（各列の和）になる。 最後の色分けは縦に分ける方法でも和が３４になる。

　考える時間も終わりかけたときに東大生の状況を戸部アナが伝えた…

えっ！！もう一つ答えがあるの…ともう一つの魔方陣を探す間もなく終了。

　今回は全員が同じ答えとなった。しかし東大生チームのみ２つの魔方陣を求めた。

１６ 　３ 　２ １３ 　５ １０ １１ 　８ 　９ 　 ６ 　７ １２ 　４ １５ １４ 　１ １６ 　５ 　２ １１ 　３ １０ １３ 　８ 　９ 　 ４ 　７ １４ 　５ １５ １２ 　１

いずれも正解！

次にこの魔方陣の特徴としてどのようなものがあるか私が上で挙げたような特徴のほかに次のような特徴が出てきた。

• 左右両端の２数の差が同じ、中央の隣り合う２数も同じ差になる。縦の並びについても同様
• 和が１７になる数の組が点対称に置かれている。
• １から４、５から８、９から１２、１３から１６が縦の列に１個ずつ現れている。
• ３×３の小さい正方形の４隅に当たる４つの数（１６、２、９、７のように）の和が３４になる。

炊飯器ぐらい買いなさい！

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「コマ大プレイバック…１、２回目(2006/4/13-4/20)」

• ショーの最初から参加したとき最初から１分間の間に水着のモデルが出演すれば撮影できるため確率は１／１０。
• ショーが始まって９分後に参加したときには水着のモデルが８分後から９分後の間に出演すれば撮影できるため確率は１／１０（？）
• それ以外の時間帯に参加したとき、例えばショーが始まった３分後に参加したとき、水着のモデルが２分後から４分後の間に出演すれば撮影できるため確率は１／５。
　以上の確率から答えは
と出しました。各組の答えは以下の通りであった。

コマ大チーム	２３／１００	検証の結果
マス北野 （当時は一人）	１９％ ＝１９／１００	詳しくは後ほど
東大生チーム	１７／８１ ＝約２１％	詳しくは後ほど

正解は東大生チームの「１７／８１」とのこと。この辺の詳しい解説についてあまり資料がなかったのですが、次のような考え方だそうです。

横軸：カメラマンの参加時間 縦軸：水着のモデルの出演時間 黄色の部分が水着のモデルを撮影 できる時間帯。

　確率は（黄色の部分の面積）÷（黄色と青の正方形の面積）＝１７／８１とのこと。 マス北野も同じ考え方ではあったが、最後の９分以降を含めて考えてしまって答えが違ったようです…

ただ、何だか腑に落ちないなあ…

　ショーの９分後以降に参加にする必要がないのなら、最初の１分間も必要ないのではないのでしょうか。実際はショーが始まって５９．９９９…秒後から入場すれば、ショーの最初から水着のモデルが出た場合一瞬でも撮影できます。

こんな図になるはず。

　まあ、過ぎたことなので良しとしましょう。こんな紆余曲折（？）を経たコマ大。とうとう１００回になりました。１００回目の放送の様子は次週。

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「祝！１００回 花の東大生数学祭り(8/28)」

　コマ大もとうとう放送が１００回になったそうです。

かなり遅いですが、おめでとうございます。

　そこで今回は毎回出演している東大生が集合！問題を解いてコマ大のクイーンを決めることになった。ここで上の番組説明で書いていますが東大生のメンバーをご紹介

木村美紀	おなじみ初代東大生チーム。現在大学院１年生
衛藤　樹	秒殺シスターズの一人、両親も東大卒
伊藤理恵	秒殺シスターズの一人、バスケ部に所属
小橋りさ	悩殺シスターズの一人、ラクロス部マネージャー
生駒尚子	悩殺シスターズの一人、料理サークル所属
岡本麻希	野望メラメラ娘（？）、政治家を目指す。
山田　茜	東大１年生。テニスサークル「トマト」所属

あっ！最後の２人の紹介を番組説明で書き入れてなかった。…ま、それはともかく、各自思い思いの歌を歌いながら次の東大生を紹介…知らない人のために説明しておきます。歌を歌いながら次の人を紹介するスタイルは以前フジテレビで放送されていた歌番組「夜のヒットスタジオ」の中で行われていました。それを真似したのでしょうが東大生メンバーは知っていたのか…？

　さて、肝心な（？）コマ大チームはどうしたのでしょうか？突然東大生を競走馬にたとえて予想を始めた。予想ではやはり秒殺シスターズの衛藤さん、伊藤さんの２人が優勝とのこと。コマ大チームは問題の解答ビデオで登場します。

　得点は早く正解した順から１００点、９０点…と点数が付けられる。時間内に正解できないと０点。５問終えてトップになった人には「コマ大数学クイーン」の称号。そして最下位にはコマ大と共にロケに参加！！これはきつい罰ゲームですね。そして東大生の歌に頭を抱えていたマス北野。そしてポヌさんは問題を解いて東大生に勝てるか挑戦することになった（ただし得点はつかない） というわけで早速第１問！テーマは「一筆書き」

問題：図のＡからＲまでの道で各点を １回ずつ通る道を見つけなさい。

　これは以前テーマで取り上げた「ハミルトン経路」に当たります。私もじっくり考えるためにビデオを一時停止して画面の図を見ながら考える。「各点を１回ずつ通る」というところから図の

Ｏ−Ｐ−Ｒ、Ｌ−Ｍ−Ｑ、Ｂ−Ｄ−Ｈ

この区間は必ず通る。そこから適当に線を結んで…

できた！

私は１，２分ほどで解けたが意外と苦戦している東大生、マス北野、ポヌさん。しかもできたと思ったものの不正解が続く。どうにか４人が正解。コマ大が「一筆書き」ということで筆で正解の道を描く。ん？見えない？と思ったらブラックライトで道が浮き出てきた。しかし見にくい。しかし実際出演者に出された問題は別のものだったそうです。何はともあれ私は正解。続いて第２問！テーマは「正六角形」

問題：図の玉を正六角形の形に並べて周囲の玉の数が１３８個になったとき、全体の玉の数はいくつになるでしょう。

これも簡単ですね。
• まず周囲の玉の数を６で割ると１３８÷６＝２３
• １辺が２３個の玉からなる正三角形の玉の数を計算すると２３×２４÷２＝２７６
（この計算の意味がわからない皆さん、詳しくは後ほど）

　なぜか私はここで計算を止めてしまった。次々と正解を出す東大生。そして時間終了。コマ大チームが実際に周囲が１３８個のビー玉からなる正六角形を作り正解を出す。その映像を見ていて自分の間違いに気が付いた。

図の青と黄色の三角形に並んだ丸の数は同じ 　⇒全体の丸の数＝６×（三角の丸の数）＋１ 今回の問題で計算すると ６×２７６＋１＝１６５７ となるんだよな…

　２問終えた時点での得点は次の通り。

順位	名前	第１問	第２問	合計点
１位	木村美紀	９０	７０	１６０
１位	小橋りさ	７０	９０	１６０
１位	生駒尚子	８０	８０	１６０
４位	衛藤　樹	０	１００	１００
４位	伊藤理恵	１００	０	１００
６位	岡本麻希	０	０	０
６位	山田　茜	０	０	０

本命視された秒殺シスターズの２人がトップ正解を取るものの、悩殺シスターズそして「古馬」木村さんに水を空けられた状態になった。岡本さん、山田さんも後半の逆転に期待。しかし番組を見ながらふと思った。

もう時間ないぞ。終わるのか。

前半の歌や予想でかなり時間をとっていた。私の心配をよそに第３問！テーマは「アミダクジ」

問題：上下の同じ文字に行き着く ようにアミダクジを作るには最低 何本の横線を加える必要があるでしょう。 （どのようなアミダクジかは後ほど）

　これもまたシンプルな問題。私は１分程度でちょちょいと答えを出した。そしてここでマス北野がひらめきで最初に正解を出した。

今週はここまで

　あ、やっぱり。真剣勝負の結末は来週だそうです。ジャージの行方はどこに…後半へどうぞ。

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