問題：図の○の中に１から７までの数字を入れ、直線で結ばれた３つの数字の和（全部で５列ある）が全て等しくなるとき、赤い丸に入る数字と等しい和を答えなさい。
（丸の中の文字は後の解説のために入れています。）
「コマ大数学科」に挑む・０８年１０月
最終更新日２００８年１１月３日
フジテレビで深夜に放送されている「コマ大数学科」の問題に解く様子をご紹介します。数学をやってきたので簡単に解ける…と思ったものの…その奮闘振りをお楽しみに。なお、福岡での放送は二週間遅い模様です。そこら辺はご勘弁を。| 「コマ大番外編…平成教育委員会ＳＰ(8/31)」 |
| 「コマ大プレイバック…正方形(7/31)」 |
| 「スパイラル正方形(10/31)」 |
ご意見がありましたらtfujisaki2006@yahoo.co.jpまでお願いします。
「コマ大番外編…平成教育委員会ＳＰ(8/31)」
「平成教育委員会」のスペシャルで登場する給食は高級店の料理が出される。しかし出題される問題に答えられないと食べられない…今回はこのような問題が出題された。
問題：図の○の中に１から７までの数字を入れ、直線で結ばれた３つの数字の和（全部で５列ある）が全て等しくなるとき、赤い丸に入る数字と等しい和を答えなさい。 （丸の中の文字は後の解説のために入れています。） |
私のひらめき、終了
テレビでは編集上とはいえ次々と正解者が出てきている。仕方ないので一つ一つ数字を入れて考えた。しかし一つ手がかりがあった。縦に３つの丸、そして両端の斜めの３つの丸には赤丸の数字が共通して入っている。この３列の丸の和が全て等しいということは、各列の赤丸以外の２つの数の和が等しい、ということが分かる。式で書くとＢ＋Ｅ＝Ｃ＋Ｆ＝Ｄ＋Ｇ
ということが分かる。１から７の中の６つの数字で上の式が成り立つ可能性として次のものを考えてみた（２つとも残りの６つの数がどこに入るかは不明）
| Ａ＝１，２＋７＝３＋６＝４＋５ Ａ＝７，１＋６＝２＋５＝３＋４ |
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| （矢印で結んだ数を一組で考える） |
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| ３つの丸の列は全部で５列あります。全ての列を足し合わせると赤い丸の数字が３回、残りの丸の数字が２回使われています… （５つの列の和は ３×Ａ＋２×（Ｂ＋Ｃ＋Ｄ＋Ｅ＋Ｆ＋Ｇ）となる） |
それは分かっているの…
それをどう使えばいいの…
| １から７までの数を全部足すと２８。それを２倍すると５６。 ３つの丸の列は全部で５列あるので、５つの列の合計は５の倍数になります。 （先ほどの５列の和を Ａ＋２×（Ａ＋Ｂ＋…＋Ｆ＋Ｇ） と書き直して、これが５の倍数になる場合を考える） |
分かった！！…と思った瞬間終了…
解答はご覧の通り。
 ５つの列の和はＡ＋２×（Ａ＋Ｂ＋…＋Ｆ＋Ｇ）と書くことができる。ＡからＧは１から７が一つずつ入ることからこの和はＡ＋２×２８＝Ａ＋５６となる。
一方５つの列の数字の和は全て同じであるため
Ａが１から７のいずれかでＡ＋５６が５の倍数になるのはＡ＝４の場合のみ。このときの各列の和は
実際図のように数字を入れて各列の和が１２になるようにできる。 |
これはネタになる。
というわけでこの場で今回の問題を紹介する運びとなりました。皆さんは給食を食べられましたか？数学とクイズでくつろいで＜数学の部屋＜「コマ大数学科」に挑む＜「コマ大数学科」に挑む・０８年１０月
「コマ大プレイバック…正方形(7/31)」
コマ大プレイバックは今年の７月に放送された「正方形」の回、中村先生の解説の中でたくさんの四角形の図と英語の表記が書かれていました。ここで簡単にですが解説を加えます。
四角内のどの２点も、その２点を結ぶ直線はその四角内に入っている
…ややこしいですか？
というわけで、簡単にですが各四辺形の説明終わります。
図を作るのは簡単ではありませんでした。
実はある四辺形を描くときに大変苦労しました。くわしい話はまたの機会に紹介します。数学とクイズでくつろいで＜数学の部屋＜「コマ大数学科」に挑む＜「コマ大数学科」に挑む・０８年１０月
「スパイラル正方形(10/30)」
コマ大、お帰りなさい
いや〜〜待ち遠しかった。さすがの私も１ヶ月以上コマ大がお休みだとちょっと気の抜けた感じがしました。先日の「総集編」の回で「次回放送は１０月２２日」と書いてあったものの放送はなかった。ひょっとしたら福岡での放送は無くなったのでは…という一抹の不安もあったが、どうにか次の週に放送が始まった。ま、そんな私の焦りを知らずに、いつものように問題が出題。
問題：一辺が１０ｃｍの正方形の対角線に沿って図のように新しい正方形を重ねていく。これを１１回繰り返してできる図形の面積を求めなさい。
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話を元に戻して、今週の問題。いつものようにコマ大の挑戦からスタート。コマ大は控え室でこの問題を渡される。「問題どおり紙を重ねていけば…」という言葉から控え室で問題の通り紙を重ねていく。しかし恐るべしスパイラル正方形。１０枚目には控え室と同じ広さの紙になってしまった。こんな大きな紙、どこに売ってあるんだ？仕方なくスタジオのある建物の屋上で１１枚目を重ねる。新聞紙を貼り合わせて作った１１枚目…と、ここで雨の警報が出たとのこと、肝心の面積はスタジオで計測。
東大生はおなじみ「秒殺シスターズ」衛藤・伊藤ペア。この問題を見た瞬間「ひょっとしたら秒殺で解答」と思ったとおり即座に答えを出した。マス北野も計算式は出した模様。頭脳労働のマス北野、肉体労働のポヌさんの連係プレー（？）で答えを出した。
さて私も計算を始める。紙の上でどのような形になるか書いていくが、コマ大の控え室のように途中で外にはみ出てしまう。途中から前の正方形が下に隠れてしまうが隠れた部分の面積は考えない、とのこと。ということは面積は途中からの正方形から計算すればよい、ということが分かる。紙には書ききれないため頭の中で１１枚重ねた完成図を考える。
 こんな形になるはず |
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１枚目の正方形の面積は１００平方ｃｍ ４枚目の正方形の面積は１枚目の正方形の８倍になるため面積は８００平方ｃｍ これから上の図の４枚目の正方形の見えている部分の面積は４００平方ｃｍ ５枚目以降の正方形の見えている部分は面積が２倍ずつ増えるため、全体の面積は… ４００＋８００＋１６００＋３２００＋６４００＋１２８００ ２５６００＋５１２００＝１０２０００平方ｃｍ |
そんな話を聞いているときに自分の間違いに気が付いた。
 ４枚目の正方形は１１枚目の正方形に隠れる…確かにそうだよな。 |
| コマ大の答え | 14.5285 平方メートル | 計測の結果。継ぎはぎのテープで 「アキレスと亀」の宣伝をする。 |
| マス北野・ポヌ組の答え | 153550 平方センチ | １０枚目までの正方形の半分と １１枚目の正方形の面積の和 |
| 東大生の答え | 152800 平方センチ | 上の図の面積を計算 |
正解…152800 平方センチ、東大生見事正解。
東大生は正方形と三角形を順次計算して、面積を出したが、中村先生の解説では別の面積の出し方が話された。
 上の図のように並べ替えると緑の大きい３つの三角形から小さい三角形（点線）の部分を引けば良い。 緑の大きい三角形は１１枚目の正方形の半分、そのため面積は５１２００平方ｃｍ。取り除く小さな 三角形は５枚目の正方形の半分、そのため面積は８００平方ｃｍ。そうすると答えは ５１２００×３−８００＝１５２８００平方ｃｍ |
今回は問題なく東大生、秒殺シスターズにコマ大フィールズ賞が渡った。正方形を並べる図を落ち着いて描けばよかった、と悔やんでも仕方ないが、それよりも悔しかったのが
たまたま見ていた家族が正解を出したこと。
…まだまだ修行が足りませんね。数学とクイズでくつろいで＜数学の部屋＜「コマ大数学科」に挑む＜「コマ大数学科」に挑む・０８年１０月