私のホームページのためにも続けて欲しいです。

問題：図の様に並んだ点を交互に結んで次のようなゲームをする。 先手は黒の丸同士を縦か横に結び上から下に先につなげれば勝ち。 後手は白の丸同士を縦か横に結び左から右に先につなげれば勝ち。 このゲームの必勝法を見つけなさい。

この手の問題は苦手だ

　今回東大生は「悩殺シスターズ」の生駒さんが短期留学のためお休み。そのため小橋・山田のコンビで問題に挑む…しかし解いている様子を見ると「挑む」というよりか「楽しんでいる」に近い。果たして必勝法は見つかったか。
　マス北野・ポヌ組も早速必勝法を見つけた様子。しかし対戦したところポヌさんの見落としで失敗。さあ、３組の必勝法は見つかったか…

あっ、私のことを書き忘れていた。

左の図では緑でつないだ組の一方を後手が結んだときもう一方を先手が結べば、必ず先手は勝つ。 右の図では番号の順に線を引いたとき、先手が緑の印のどちらかを結べば勝つ。

　今回は解答の際に竹内先生との対戦が行われた。

コマ大チーム	対戦結果は先手でコマ大の勝ち	初手で四隅の中から一つを結ぶ。 以降は壁を作り後手の道を阻むように引く という戦法を考えた。
マス北野・ ポヌチーム	対戦結果は先手でマス北野組 の勝ち	初手で四隅の中から一つを結ぶ。 途中で「待った」があったが後手が縦なら横 横なら縦という引き方で勝ち、とのこと。
東大生チーム	対戦結果は先手で竹内先生の勝ち	他の２組と同じように四隅から結ぶ方法を考え たが、なぜか真ん中から線を引き始める方法を 考えた。

先手が四隅のうち一つの縦線を結ぶ。これで先手の勝ちが決まる。 図のように残りの線を引く場所を２個ずつの組に分ける。後手が線を 引いた後、先手は後手の引いた場所の入る組のもう一方の場所に線を引く。 これを続ければ必ず先手が勝つ。

問題：１から１億までの数字を書いたときに現れる数字の全ての和を求めなさい。

ま〜〜、超シンプルな問題。

…＋１１＋１２＋１３＋…ではなく …＋（１＋１）＋（１＋２）＋（１＋３）＋…と足していく

　コマ大の挑戦は「シンプルな問題にはシンプルな解き方」ということで

実際に足す！

　コマ大に強力助っ人で正解を出せるか、と思ったところでチャンピオンが早退。仕方なく４人で計算を続ける。５時間が経過したところで「アタルチャンス」登場。さあ、答えは出せたのか。

　私が最初にひらめいたのは「４５の何乗」という答え。しかしそれはあまりにも計算が大変。ということで表のようなものを作って考えた。

00	01	02	03	04	05	06	07	08	09		45
10	11	12	13	14	15	16	17	18	19		55
20	21								29		65
30	31								39		75
40	41								49		85
50	51			ここは省略					59		95
60	61								69		105
70	71								79		115
80	81								89		125
90	91	92	93	94	95	96	97	98	99		135

４５＋５５＋６５＋…＋１２５＋１３５ ＝４５＋（１０＋４５）＋（２０＋４５）＋…＋（８０＋４５）＋（９０＋４５） ＝４５×１０＋４５０ ＝９００

で、いくつに替えるの？

　東大生（木村・岡本ペア）は法則を見つけて答えを出した様子。一方マス北野は「クイズミリオネア⇒コマ大３本撮り」とハードスケジュールでお疲れのご様子。「ほんとに答えが出せるのかよ〜」と弱音を吐く場面も。そして相変わらず肉体労働のポヌさん。各組の答えは次のようになった。

コマ大チーム	１８億１万	１万までの計算から推測。 各桁の和の平均が３６になることからも確認。
マス北野・ ポヌチーム	４５×１０＾９＋… （以下読み取れず）	マス北野は１００までの和から考えたが時間切れ ポヌさんも式を立てたが計算は間に合わず。
東大生チーム	３６億１	各桁に１から９まで同じ数だけ現れることから計算

正解…３６億１！コマ大不正解、もとい、東大生正解！

各桁に１から９までの数が何回ずつ現れるか、調べると １から９まででは各数字は１回ずつ現れる。 １から９９まででは各数字は１の位、１０の位それぞれ１０回ずつ 現れるためあわせて２０（２×１０）回ずつ現れる。 １から９９９まででは各数字は各位にそれぞれ１００回ずつ 現れる ためあわせて３００（３×１００）回ずつ現れる。 これを「１から９９９９万９９９９」まで考えると１から９までの数字 が「８×１０００万」回ずつ現れるため、合計は ４５×（８×１０００万）＝３６億 これに１億の１を加えて「３６億１」が答えになる。 ちなみに私は上の式の「８×」の部分を「９×」にして間違えてしまった。

２つの数に現れる 数字の合計 ０ ９９，９９９，９９９ ７２ １ ９９，９９９，９９８ ７２ … … … ２，３５１，００４ ９７，６４８，９９５ ７２ … … … ９９，９９９，９９８ １ ７２ ９９，９９９，９９９ ０ ７２ 　和が９９，９９９，９９９になる数同士について現れる数字の和を考えると常に７２になる。上の表は１億回足しているため現れる数字の和は７２億。しかし同じ数が２回ずつ現れているため半分の３６億が１から９９，９９９，９９９までに現れる数字の和になる。これに１億の１を足して３６億１が答えになる。

私のポテンシャルはいつになったら上がるのでしょうか

問題：１から６までのトランプ２４枚を使い、２人が交互に１枚ずつ取り、２人の取ったカードの合計を先に３１にした方が勝ち、というゲームをする。 このゲームで先手が勝つためには始めに何を取ればよいか。 １ ２ ３ ４ ５ ６ １ ２ ３ ４ ５ ６ １ ２ ３ ４ ５ ６ １ ２ ３ ４ ５ ６ （トランプのマークを描くほどの絵心がないため色で表現。ご勘弁を）

今回のポイントは一つの数字を４回しか選べない、ということ。

３、５、２、４、３、１、６、６、１

３、４、３、４、３、４、３、４、３…がない？

？？？？？どうしよう

　今回の検証はフジテレビの階段３１段を使い、問題のゲームを行いながら階段を上る、という嗜好を凝らした（？）内容。上るのはお宮の松。さらに間もなくコマ大のＤＶＤの第３弾が発売されるということで、お宮の松がサンドイッチマンとなりＤＶＤの宣伝もする。選ばれるカードにあわせて階段を上ることしばし、目立ちたがり屋のお宮の松、自分がほとんど画面に写らないことに気付く。おまけに謎のひょっとこのお面もかぶっているため、端から見ても誰か分からない。まあ、お宮の松ですから顔が見えても誰か分からないでしょう。

　その甲斐があってか、コマ大チームは必勝法を見つけた模様。ＤＶＤの宣伝も十分の様子。ちなみに私、コマ大ＤＶＤは第２弾も買っていません。
　（参考：「サンドイッチマン」とはＭ−１グランプリを取ったお笑いコンビではなく、前後に宣伝用のボードをかけて街を歩いていた人のこと。そのボードがサンドイッチのパンのように見えたことから「サンドイッチマン」と名付けられました。最近ではあまり見かけなくなりました。）

　さて、マス北野・ポヌ組と東大生・秒殺シスターズは大体の必勝法は分かっている模様ですが、答えを出し切れない様子。ここで竹内先生からいくつかヒントが出てきた。

• もし３１を超える選び方しかないなら、その時点で負け。
• 後手が勝つ選び方を除外する。
• 「７」が鍵になる。

　私もテレビを見ながらあれこれ思いをめぐらせたが答えは分からず。しかし「３１を超えたら負け」というヒントから、早いうちに「１」を無くすと３０や２９になればこっちが有利なのではないか、というよく分からない根拠で「１」を答えにしてみた。各組の解答は次のようになった。

コマ大チーム	ロケでは「３」 マスとの対戦で「１」	検証の結果。
マス北野・ ポヌチーム	３＞＝答 （つまり３以下）	和が７になる取り方を止める方法。 御託を並べたが最後はお手上げ？
東大生チーム	「３」	説明はなし。

正解…１，２，５（答えは３つ？？）

• 次に先手が１（または２）を選んだら２（または１）を選ぶ。これで和が「１０、１７、２４」になり後は先手との和が「７」になるカードを選んでいく。
• 次に先手が５（または６）を選んだら５（または４）を選ぶ。これで和が「１７、２４」になり後は先手との和が「７」になるカードを選んでいく。

　この方法を先手が「１，２，５」のいずれかを選んだ場合に考えれば先手の勝ちが分かる…らしい。しかしこれを考えると多くの可能性を考えなければいけないようである…この問題、奥が深い。

　今回は正解を出す組はいなかったが、「３」を選ぶと先手が負けるということに気付いた大健闘コマ大チームにコマ大フィールズ賞が渡った。

　番組が終わって簡単な解説ができないが私の頭脳では限界であった。しかし、一番簡単な場合でこのゲームを考えてみた。

１から６までのトランプ６枚を使い、２人が交互に１枚ずつ取り、２人の取ったカードの合計を先に１０（＝３１−７×３）にした方が勝ち、というゲームをする。 このゲームで先手が勝つためには始めに何を取ればよいか。 １ ２ ３ ４ ５ ６

先手が１を選ぶ。 後手が２を選べば、先手が６を選ぶ（合計９）と後手はどれを選んでも１０を超える。 後手が３以上を選べば、先手は「９−後手の選んだ数」を選べば合計が１０になる。 つまり先手の勝ち。 先手が２を選ぶ。 　このとき後手が４を選ぶと、次に先手が選べるのは１または３。先手の 選んだもののもう一方を後手が選ぶと合計が１０になる。 つまり後手の勝ち。 先手が３を選ぶ。 　このとき後手が４を選ぶと、次に先手が選べるのは１または２。先手の 選んだもののもう一方を後手が選ぶと合計が１０になる。 つまり後手の勝ち。 先手が４を選ぶ。 　このとき後手が３を選ぶと、次に先手が選べるのは１または２。先手の 選んだもののもう一方を後手が選ぶと合計が１０になる。 つまり後手の勝ち。 先手が５を選ぶ。 　このとき後手が選べるのは１から４のいずれか。後手の選んだものに対して先手は「５−後手の選んだ数」を選べば合計が１０になる。 つまり先手の勝ち。 先手が６を選ぶ。 　このとき後手が４を選んで合計が１０になる。 つまり後手の勝ち。

今回私は正解と言えるのでしょうか？

問題：一辺の長さが等しい正方形と正三角形がたくさんある。 これらをすきまなく並べて作られる最小の凸１１角形を考える。 必要な正方形と正三角形の数を答えよ。

あ、この問題は…え〜〜っと…

　番組ではマス北野、東大生チームのシンキングタイムの後にコマ大の挑戦が放送されたが、ここではお先に内容を書きます。コマ大はスタジオのある建物の屋上で大きな正方形と正三角形を使って問題に挑む。思いのほかすんなりと並べていっているけど…

できた！！でも１２角形

できた！！今度は１０角形

　この問題で私が最初に注目したのは「１１角形の各頂点の角度」。正三角形と正方形で作ることができる角度は この４つ。しかし、６０度と９０度が入ると１１角形は作ることは出来ない…はず。ということで１２０度と１５０度を組み合わせて１１角形を作ることにした。しかし番組のように正方形と正三角形がたくさんあれば良いが、紙の上で絵を書くとどうもうまくいかない。と悩んでいるうちに終了となった。不完全燃焼である…いや燃えてもなかったか
　（頂点の角度について後で計算したところ、６０度が１個入ると残りの角度は平均１５６度。つまり少なくても一つは１５０度を超える頂点が必要となるため作ることができない。９０度についても同様…って、このぐらいすぐに分かって欲しいと自分の脳みそに突っ込む）

　今回は３組とも答えが揃った。

左の１２角形の一部を別のものに変えると１１角形ができる。 答えは「正方形７個、正三角形１３個」

６０度、９０度、１２０度、１５０度の角度の頂点の角度をそれぞれａ、ｂ、ｃ、ｄと置くと 　６０ａ＋９０ｂ＋１２０ｃ＋１５０ｄ＝１６２０（内角の和を計算） ⇒２ａ＋３ｂ＋４ｃ＋５ｄ＝５４ 　ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ＝１１（頂点の数を計算） この２つの式とａ、ｂ、ｃ、ｄが０以上の整数になることからａ＝０、ｂ＝０、ｃ＝１、ｄ＝１０となる。

こんな１０角形ができる。

　今回の問題は講談社・ブルーバックスの「広中杯ハイレベル中学数学に挑戦」という本からの問題とのこと。

この本、持っています。
しかも
この問題も知っていました。

もう少し私に絵の才能があれば…