問題：正９角形の頂点から３つの頂点を結んで作られる三角形のうち、鋭角三角形と鈍角三角形の個数を求めよ。

今回はいけるかも

　コマ大の挑戦はすっかりおなじみになったスタジオの屋上で行われた。正９角形の頂点の形に並べられたポールに紙テープをつないでとにかく三角形を作る。風に吹かれながらもテープを張り巡らせた形が完成。で、答えは出たのでしょうか？

　私も「コマ大の挑戦」を見ながら計算をスイスイと進めた。

三角形の辺の長さの取り方は４通り（図の太い赤線） それぞれの長さを持つ鋭角三角形を調べると全部で １＋３＋２＋２＝８通り それぞれの三角形を９角形に沿って回転させると各々９通りの取り方ができるが同じ三角形を３回重ねて数えているため、鋭角三角形の数は ８×９／３＝２４個 ９個の頂点から３個選んで作られる三角形は 　９Ｃ３ ＝９×８×７／３×２×１ ＝８４個 これから鈍角三角形の個数は ８４－２４＝６０個

新年早々一味違う私がいた。

コマ大チーム	鋭角：３０、鈍角：５３	検証の結果
マス北野・ ポヌチーム	鋭角：３０、鈍角：９０	三角形を数え上げて
東大生チーム	鋭角：３０、鈍角：５４	こちらも数え上げて

あれ？？３０個？？

正解：鋭角３０個、鈍角５４個…東大生正解！！

鋭角三角形の数を求める。まず１点を固定する（右の図では０に固定）残りの２点の場所をｘ、ｙ（右の図ではｘ＝３、ｙ＝７）とすると ｙの角が鋭角であるためには １≦ｘ≦４ ｘの角が鋭角であるためには ５≦ｙ≦８ １の角が鋭角であるためには ｘ＋１≦ｙ≦ｘ＋４

この３つの条件が成り立つ場所をグラフで見つけてその中の格子点（ｘ座標、ｙ座標が共に整数である点）を数えると１０個ある。 固定した１点を１，２，…，８と動かして数えるが同じ三角形を３回数えているため３で割ると １０×９／３＝３０…これが鋭角三角形の数。 あとは３角形全体の数８４から３０を引いた５４が鈍角三角形の数になる。

一般の正ｎ角形について鋭角、直角、鈍角三角形の数を計算すると次のようになる。 辺の数(n) 偶数のとき 奇数のとき 鋭角三角形 n(n-2)(n-4)/24 n(n-1)(n+1)/24 直角三角形 n(n-2)/2 0 鈍角三角形 n(n-2)(n-4)/8 n(n-1)(n-3)/8 　この計算は皆さんでお考えください。

私の考えていた図の中で、右の図の青の三角形を忘れていた。 こうして見ると鈍角三角形のようにも見える…

去年と変わらない私がやっぱりいた。

こんな解き方もある。

一つの頂点を固定してその点を含む鋭角三角形を考える。 三角形を作る３つの頂点のうち２つの頂点に挟まれる正９角形の辺の数を考える。 （右の図では固定する点を一番上の点として考えると辺の数は２、４、３となる） 固定した点から時計回りに挟まれる辺の数をｘ、ｙ、ｚとすると ９つの辺が３つに分けられるのでｘ、ｙ、ｚの合計は９になる。また鋭角三角形を作るためにはｘ、ｙ、ｚはいずれも４以下でなければいけない（もちろん１以上である） この条件が成り立つｘ、ｙ、ｚの組は ３，３，３の１組 １，４，４を並べ替えてできる３組 ２，３，４を並べ替えてできる６組 合計で１０組である。これは中村先生の解説の格子点と対応している。

お待たせしました！コマ大ＤＶＤ第３弾発売！

この番組は２００８年１２月１８日に放送されたものです。

問題：１００×１００のマス目にマッチ棒を一筆書きの要領で並べていく。ただしマッチ棒は２本以上直線上に並べてはいけない。このとき最大何本並べることができるか。

　さて、そのコマ大チーム。今回は珍しくバーベキューを楽しみながら問題を解ける、とあって大喜び。１０×１０の焼き網の上にソーセージを問題のマッチ棒のように並べていく。しかし最大本数の数だけ並べないと食べれらない。いつになく張り切るコマ大。珍しくいい天気のロケで２時間かけて正解を導き、おいしくソーセージをいただいた。

　この問題。最初は「まっすぐ伸ばしてもＯＫ」と勘違いして意気揚々と解いていきました。

右の図の６×６の場合、青の丸で線を 区切ると 線の数は ３＋５＋７＋１１＝２４本 この要領で１００×１００を考えると 線の数は ３＋５＋７＋…＋２０１ 　＝１０２００本

　私も必死に計算をするが時間切れ寸前。ここで裏技を出した。

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右の図の８×８の場合、線の数は ５＋１２＋１６＋２０＝５３本 （青の点で線を区切って足し合わせる） この要領で１００×１００を考えると線の数は ５＋１２＋…＋２０４＝５３０９本 どう考えても下一列の無駄なスペースがあるがご勘弁を

コマ大チーム	１０２００	１０×１０のときの「１０２本」 を１００倍して
マス北野・ ポヌチーム	１０００２	ポヌさんが一般式を見つけた
東大生チーム	１０００　２？	計算内容はほぼ同じ しかし０を一つ多く書きすぎた

正解…１０００２本。マス北野、東大生チーム正解

左下隅すぐ横の点（青の点）から線を引き始める 上⇒右方向に２列を交互に移動させるように線を引く 右上の１マスの一歩手前で下方向に線を引く（もう一つの青の点） 青で囲った中の点について同じように外側をたどるように線を引く。 これを２×２になるまで繰り返して、最後に例の６本の線を引く。 この方法で線を引いたときの線の本数は次のような方法で簡単に計算できる。 マス目が２列増えるごとに線を通らない点は４個ずつ増える。２×２のとき線を通らない点の数は２個なので１００×１００のとき線を通らない点の数は ２＋４＋４＋…＋４（４を４９回足す）＝１９８ 点の数は１０１×１０１＝１０２０１個あるため、線を通る点の数は １０２０１－１９８＝１０００３個 線の数は線を通る数より一つ少ないため（植木算の要領で考える）線の数は１０００２本

　話は変わりますが先日ＤＶＤ「コマ大数学科第２期」を買ってきました。もちろん自腹です。第１期・第２期を見ているとすんなり解けていきます。中には答えを知っている問題もあります。あの頃であれば私も意気揚々とこのページを作ることができたのですが、コマ大を見始めて解けない問題が出てきました…ひょっとして

コマ大のスタッフは私の弱点を知っているのだろうか…

補足です

　今回はレギュラーメンバー総出演で２人一組で数学の問題に挑む。出演者はこちら

「秒殺シスターズ」 衛藤樹・伊藤理恵	出された問題をあっという間に解く正に「秒殺」 今回は実験で使っている白衣で登場
「悩殺シスターズ」 小橋りさ・生駒尚子	「秒殺シスターズ」に負けない力を持つ 蛇足ながら小橋さんは先日の「雑学王ＳＰ」に出演
「フェアリーエンジェルズ」 岡本麻希・山田茜	いつもは先輩木村さんと協力しているが 今回は２人で協力して挑む
「ドリームガールズ」 木村美紀・八田亜矢子	おなじみ木村さんとこちらもテレビでおなじみ 八田さんが初参戦
「ＭＰ砲」 マス北野・ポヌジョジアヌ	脅威のひらめきと脅威の計算力… なぜか覆面レスラーで登場

　今回は３つのラウンドを行いその総得点で勝負をする。始めのラウンドは「知って得する、なるほど数雑バトル」…問題を解くだけではなく知識も問われるラウンド。問題は早押し問題５問、三択問題５問の合計１０問。以下に問題と解答を掲載します。解答はドラッグして見てください。まずは早押し問題５問です。

第１問：５０を１／２で割り、１０を足すといくつになるでしょう。

答え→→→ １１０（「５０を１／２で割る」とは「５０に２を掛ける」ということ）

第２問：５×６の長方形の形をしたチョコレートを切れ目に沿って割っていき３０個のチョコに分けるには、何回割れば良いのでしょうか？ただし２個のチョコを重ねて割ることはできない。

答え→→→ ２９回（１回割るごとにチョコが１片ずつ分かれるため３０－１＝２９回必要）

第３問：「０」「１」「２」この３つの数字を１つずつ使ってできる最大の数はいくつでしょう。

答え→→→２＾１０（２の１０乗は１０２４。普通に並べた２１０より大きい）

第４問：「フェルマーの定理」で知られるフランスの数学者、フェルマーの本業は何だったでしょう？

答え→→→ 弁護士（仕事で人と会えないときに数学の研究をしていた、とのこと）

第５問：フィボナッチ数列で最初に登場する３桁の数はいくつでしょう。

答え→→→１４４（１，１，２，３，５，８，１３，２１，３４，５５，８９，１４４ここで登場）

衛藤・伊藤ペア	２問目を正解	１０点
小橋・生駒ペア	５問目を正解	１０点
岡本・山田ペア	正解を取れず	０点
木村・八田ペア	１問目、４問目を正解	２０点
マス・ポヌペア	３問目を正解	１０点

　続いて三択問題５問。知識でいくか勘でいくかはあなた次第です。

第１問：数学者デカルトの死因は風邪をこじらせての肺炎。では風邪をこじらせた原因は何でしょう？ （１）水風呂に入りすぎた（２）寝不足が続いた（３）医者が嫌いで病院に行かなかった

答え→→→（２）寝不足が続いた…王女の教育のため朝５時から講義を行っていた。

第２問：数学検定協会が認定した「数学の日」は何月何日でしょう？ （１）円周率から３月１４日（２）掛け算の九九から９月９日（３）関孝和の命日１０月２４日

答え→→→ （１）円周率から３月１４日

第３問：次の定数のうち、一番小さい定数はどれでしょう？ （１）黄金比の値（２）自然対数（３）オイラー定数

答え→→→（３）オイラー定数

第４問：アインシュタインはファッションについてあるこだわりを持っていました。そのこだわりとは何でしょう？ （１）素足に靴の石田純一風（２）くるくるマフラーの中尾彬風（３）素肌にジャケットの郷ひろみ風

答え→→→ （１）素足に靴の石田純一風…当時は靴下の質がよくなかったことが原因

第５問：パスカルはある病に苦しみ、その痛みを紛らわせるために数学をしていたといわれています。その病とは何でしょう？ （１）虫歯（２）頭痛（３）腹痛 （昨年のスペシャルで出演したジョンフンさんからの出題。この「ジョンフン」さんがヒント）

答え→→→（１）虫歯…ジョンフンさんは医学部歯学科に在籍していた。

	第１問	第２問	第３問	第４問	第５問	総得点
衛藤・伊藤ペア	×	○	×	○	×	２０点加わり３０点
小橋・生駒ペア	×	○	×	×	×	１０点加わり２０点
岡本・山田ペア	○	×	×	○	○	３０点加わり３０点
木村・八田ペア	×	○	×	×	○	２０点加わり４０点
マス・ポヌペア	×	×	○	×	×	１０点加わり２０点

あっ！コマ大チームのこと忘れていた！

次のラウンドは「乗せて量ってヒラメキ天秤バトル」天秤ばかりの左の皿に乗せた重さに対して、はかりが吊り合うように５個の重りを乗せる、という問題。このラウンドはトーナメント方式となり先に進むほど得点は高くなる。トーナメントは次のようになった。

トーナメントの数字は勝利した時の得点

第１問：１１０ｇの重さと釣り合うように重りを置いてください。

答え→→→左の皿に１ｇ、右の皿には８１，２７，３ｇの重りを乗せる

第２問：１０１ｇの重さと釣り合うように重りを置いてください。

答え→→→左の皿に９，１ｇ、右の皿に８１，２７，３ｇの重りを乗せる。

第３問：１６ｇの重さと釣り合うように重りを置いてください。

答え→→→左の皿に９，３ｇ、右の皿に２７，１ｇの重りを乗せる。

第４問：４９ｇの重さと釣り合うように重りを置いてください。

答え→→→左の皿に２７，９ｇ、右の皿に８１，３，１ｇの重りを乗せる。

衛藤・伊藤ペア	２回戦で敗退	２０点加わり５０点
小橋・生駒ペア	２回戦、決勝で正解	８０点加わり１００点
岡本・山田ペア	１回戦で敗退	得点変わらず３０点
木村・八田ペア	決勝戦で敗退	３０点加わり７０点
マス・ポヌペア	１回戦で敗退	得点変わらず２０点

　最終ラウンドはいつものように数学の問題に挑む。最高１００点獲得できるため逆転のチャンスが大いにある。では問題！

問題：図のように電球が５×５の状態に並べられている。一つの電球のＯＮ・ＯＦＦを切り替えると、その上下左右に隣り合う電球もＯＮ・ＯＦＦが切り替わる。 （紫の電球を切り替えると赤の電球がＯＮになる。暗い灰色の電球は２回切り替わったためＯＦＦになる） 　いま全てＯＦＦの状態から何個か電球のＯＮ・ＯＦＦを切り替えたところ一個の電球だけＯＮの状態になった。ＯＮになった電球としたありえるものをすべて見つけなさい。

解き方が全く分かりません

　とりあえず分かることは切り替えが奇数回あるとＯＮ，切り替えが偶数回あるとＯＦＦになる、ということ。それ以降は…さっぱり。とりあえず全ての電球で切り替えをするとどうなるかを考えてみた。

３	４	４	４	３
４	５	５	５	４
４	５	５	５	４
４	５	５	５	４
３	４	４	４	３

ん～～だからどうなんだ？

11	12	13	12	11
12	18	19	18	12
13	19	20	19	13
12	18	19	18	12
11	12	13	12	11

ん～～やっぱり……でも……

　この問題にはさすがの東大生も苦戦している。図をたくさんかいて導いた解答がこちら。

　難問の作業を無事終えてなぜかスタジオに戻ったコマ大チーム。正解はコマ大が見せるということ。コマ大チームが向かったのは香取市立澤小学校。この小学校は今年３月で廃校ということで、記念にコマ大の解答に参加することになった。生徒２５人が問題の電球となって正解の１個だけの電球を見つける。そして出された答えはこちら。

赤の電球の５ヶ所

本当か？？？

紫の電球をＯＮにするために、赤の電球 （紫の電球も含む）を切り替える

順位	ペア	第３Ｒの点数	合計点
１位	岡本・山田ペア	９０点	１２０点
２位	小橋・生駒ペア	１５点	１１５点
３位	マス・ポヌペア	８０点	１００点
４位	木村・八田ペア	２０点	９０点
５位	衛藤・伊藤ペア	１０点	６０点

　以上でコマ大の２００８年は終りです。今年はコマ大にとっては激動の一年だったと思います。エミー賞の最終候補に選ばれた事からマスコミでも取り上げられましたし、番組も初代東大生チーム木村・松江ペアの卒業、と思いきや７人もの新東大生が登場（一人は新…かな？）そしてＤＶＤの発売。この一年にぎやかだったでしょう。２００９年はどのような一年、そしてどのような問題を出してくれるのでしょうか……

って今ごろ書いてもな…

問題：各６人ずつのＡチーム、Ｂチームがそれぞれ縦一列に並んでいる。審判がコインを投げ、表が出ると赤の帽子、裏が出ると白の帽子を後の人から順番にかぶせていく。 　全員が帽子をかぶった後、後の人から順に自分の帽子の色を当てていく。当たれば１点、外れたら０点を与え、６人の合計得点を競う。 　Ａ，Ｂそれぞれのチームが次の戦略によって帽子の色を当てていくとき、ＡチームがＢチームより合計得点の高くなる確率を求めよ。

Ａチームの戦略 １番は２番の帽子の色を答える。２番目は「１番目の答えの色」を答える。 ３番は４番の帽子の色を答える。４番目は「３番目の答えの色」を答える。 ５番は６番の帽子の色を答える。６番目は「５番目の答えの色」を答える。 Ｂチームの戦略 １番目は２番と３番の帽子の色が同じならば白、異なれば赤、と答える。 ２番目は１番の答えが「白」のときは３番の色、「赤」のとき３番の色と 違う色を答える。 ３番目は１番の答えが「白」のときは「２番目の答えの色」 「赤」のとき 「２番目の答えの色」と違う色を答える。 ４番目は５番と６番の帽子の色が同じならば白、異なれば赤、と答える。 ５番目は４番の答えが「白」のときは６番の色、「赤」のとき６番の色と 違う色を答える。 ６番目は４番の答えが「白」のときは「５番目の答えの色」 「赤」のとき 「５番目の答えの色」と違う色を答える。

何だ、これは？

　今回は新年最初の放送＆成人式ということで東大生の小橋・生駒ペアは振袖姿で登場。エミー賞授賞式のときの戸部アナの振袖姿とは…まあ、それはさておいて。
　ポヌさんのジョークでお株を奪われたコマ大チーム。今回の検証はシンプルに問題の戦法で勝敗数を数える。コマ大チーム４人にいつの間にかレギュラーになった木庭先生とスタッフの方が加わり６人がＢチーム。一方のＡチームはＢチームの子供達が集合。親子とは言えども真剣勝負…と思いきや、親子の交流の場を作った形となった。

で、答えは出たの？

　問題を解く前に上のＡ，Ｂチームの戦略を理解しなければいけない。 Ａチームについてまとめると次のようになる。

Ａチームの１番目は２番目（すぐ前）の帽子の色をそのまま答える。 ２番目は１番目の答えをそのまま同じく答える。 これは「３番、４番」「５番、６番」の組についても同じ。

ん？ということは…

「２番の答えの色」＝「１番目の答えの色」＝「２番の帽子の色」

３点	１，３，５番目が全員間違える	確率＝１／８
４点	１，３，５番目のうち１人だけ正解	確率＝３／８
５点	１，３，５番目のうち２人だけ正解	確率＝３／８
６点	１，３，５番目が全員正解	確率＝１／８

　しかし、ここで私は止まった。ＢチームもＡチームと同じように何人かは必ず帽子の色を当てられるとは思うが分からなかった。ん～～いつものように惜しくも降参である。

各組の答えは次のようになった。

コマ大チーム	約４３％	検証の結果。３０戦で１３勝。
マス北野・ポヌチーム	４２％	Ａチームの得点の確率は分かったが Ｂチームについては 分からず。結局勘で。
東大生チーム	３／１６	Ａチーム、Ｂチームの得点の確率 を計算して。

正解…３／１６、東大生チーム正解！

２番目、３番目の帽子が同じ色の（１番目が「白」と答えた）とき 　２番目は３番目の帽子の色を答えるが２人とも同じ色なので 常に正解。 　３番目は「２番目が答えた色」を答えるがこれは３番目の 帽子の色なのでこちらも正解。 ２番目、３番目の帽子が違う色の（１番目が「赤」と答えた）とき 　２番目は３番目の帽子の色と違う色を答えるが２人は違う色なので 常に正解。 　３番目は「２番目が答えた色」と違う色を答えるがこれは３番目の 帽子の色になるため、こちらも正解。 つまり、２番目、３番目は常に正解する。同じように５番目、６番目も 常に正解する。

Ｂチームの得点の確率は ４点 １，４番目が共に 間違える 確率＝１／４ ５点 １，４番目のうち １人だけ正解 確率＝１／２ ６点 １，４番目が共に 正解 確率＝１／４

Ａチームが勝つ確率を計算すると Ａ：５点 Ｂ：４点 確率＝３／８×１／４＝３／３２ Ａ：６点 Ｂ：４点 確率＝１／８×１／４＝１／３２ Ａ：６点 Ｂ：５点 確率＝１／８×１／２＝１／１６

確率については特に苦手な私です。

問題：バスケットボールの得点の取り方は次の３通りがある。 フリースローで１点を取る。 エリア内のシュートで２点を取る。 エリア外のシュートで３点を取る。 このとき、ちょうど１０点を取るときの得点経過は何通り考えられるか。

　マス北野に球技の漢字を見事に読まれてしまったコマ大チーム。平均年齢４０歳とあってバスケットで検証は無理か…しかしやってみないとわからない。バスケットの対戦相手となったのは「秒殺シスターズ」の伊藤理恵さんが所属する東大女子バスケット部。相手は東大生、しかも女子…しかし、寄る年には勝てずコマ大３連敗。

　疲労と敗北感に包まれたもののコマ大の検証は続く。３色のテープで１点、２点、３点分の長さを作り、ちょうど１０点の長さになる組み合わせを作っていく。しかし検証は思いのほか長かった。「バスケットのほうが良かったかも」と嘆きながらもどうにか検証終了。久しぶりの長時間検証となりました。

　この問題、「あの問題」と似ています。「あの問題」とは栄えある（？）コマ大第１回目の問題「フィボナッチ」です。

フィボナッチ数列とは：前の２つの数字を足して、次の数として作られる数列。 １番目、２番目の数字は共に１。以降３番目は前の２つの数の和「１＋１＝２」、４番目は「１＋２＝３」としていくと… １，１，２，３，５，８，１３，２１，３４，… とフィボナッチ数列が作られる。

１０点を取るためには次の３通りの場合がある。 ９点取ったときから１点を加えちょうど１０点 ８点取ったときから２点を加えちょうど１０点 ７点取ったときから３点を加えちょうど１０点 これらの取り方には重なる取り方がないため （１０点の得点経過数） 　　＝（９点の得点経過数）＋（８点の得点経過数）＋（７点の得点経過数） となる。

始めの３つの数字は… １点を取る方法は１通り ２点を取る方法は「１点、１点」と「２点」の２通り ３点を取る方法は「１点を３回」と「１点、２点」「２点、１点」「３点」 の４通り。 　つまり考える数列は「１，２，４、…」という始まり方になる。これから 数列を作ると 　１，２，４，７，１３，２４，４４，８１，１４９，２７４

答えは「２４７」　完璧！！

コマ大チーム	２４７通り	検証の結果
マス北野・ ポヌチーム	２４７通り	上の計算をした結果
東大生チーム	２４７通り	上の計算をした結果

あら…全員同じ答え…

自然数Ｎをいくつかの自然数の和で表すことを考える。ただし和に現れる数字の順序も考えて、Ｎ自身でもひとつの和として考える。 　和で使われる自然数がある一定の自然数以下である和の表し方の総数を、Ｎ＝１，２，３…と順番に並べた数列を考える。 例えば「和で使われる自然数が２以下」である和の表し方を数えると Ｎ＝１ Ｎ＝２ Ｎ＝３ Ｎ＝４ １＝１ ２＝２ 　＝１＋１ ３＝２＋１ 　＝１＋２ 　＝１＋１＋１ ４＝２＋２ 　＝２＋１＋１ 　＝１＋２＋１ 　＝１＋１＋２ 　＝１＋１＋１＋１ １通り ２通り ３通り ５通り これをＮ＝５，６…と数列を作るとおなじみのフィボナッチ数列が出てくる。 「和で使われる自然数が２以下」の「２以下」を「３以下」と条件を変えると今回の問題で出てきたトリボナッチ数列。「４以下」「５以下」…と条件を変えると新しい数列ができる。 「２以下」 フィボナッチ数列 １，２，３，５，８，１３… 「３以下」 トリボナッチ数列 １，２，４，７，１３，２４… 「４以下」 テトラボナッチ数列 １，２，４，８，１５，２９… 「５以下」 ペンタボナッチ数列 １，２，４，８，１６，３１… もちろん、これらの数列は前の２個、３個…の数字の和でドンドン数列を作ることができる。

やさしい問題をお願いします