忘れていた…

問題：縦の長さ＝７、横の長さ＝６のビリヤード台があります。左上の出発点から４５度の角度で玉を発射し、玉は壁に当たると４５度の角度で跳ね返ります。玉がポケットに入るまで壁に何回跳ね返るでしょうか。

　マス北野と東大生チームはいつものように紙の上で計算をする。 問題文の「玉を発射する」っていうと、ミサイルでズドーン！というイメージを持ってしまうが、ま、意味は分かるからいいか。私は次のようにして答えを出した。

図のように玉の軌道を描くと、 赤丸の箇所が壁に跳ね返るところになる。全部で１１回。

コマ大チーム	１１回	検証の結果
東大生チーム	１１回	ビリヤードを大きく広げて跳ね返ることを 壁を通過することと考えて計算をした。
マス北野	１１回	私と同じ法則から計算

正解…１１回、全員正解！！

ビリヤード台を広げて１辺が１２（=３×４）の正方形を作る。 この正方形の対角線がちょうどビリヤードの玉の軌道にまた縦、横 の線との交差は壁に跳ね返ることに対応する。この対角線は途中で格子点を 通らないため縦の線を３（＝４−１）回、横の線を２（＝３−１）回交差する。 よって壁に跳ね返る回数は３＋２＝５（＝４＋３−２）回となる。 　今回の問題も同じように考えると壁に跳ね返る回数は７＋６−２＝１１回となる。

問題：直角二等辺三角形ＯＡＢの下に直角三角形ＡＢＣが接しています。ＡＣとＢＣの長さの合計が８、∠ＡＢＣが１０度のとき、２つの三角形の面積の合計を求めなさい。

　この問題、竹内先生が「小学生でも解ける」と話していたことから、おそらく角度１０度は必要ないのでは、と予想した。図形問題の定番「切って貼って」面積を計算しやすい形に変えることを考えてみた。

ＯＢでこの形を切りＯＡとＯＣを合わせるようにすると底辺が８の直角二等辺 三角形ができる。これから面積は ８×４／２＝１６ となる。

簡単に解いてしまってすみません

コマ大チーム		イベントに参加していたため、この問題は解答せず。
東大生チーム	１６	問題の形に直角三角形２つを付けて計算。
マス北野	１６	問題の形を２つ付けると台形になるところから計算。

正解…１６、やっぱり全員正解！！

朝の７時ぐらいから始めたらどうですか？

安易な人が多いもんです。

問題：５枚のカードの表（白）と裏（黒）にそれぞれ０から９までの数字を一つずつかかれています。この５枚のカードを横一列に並べて以下の条件が成り立つとき、最初に見えていた（表５つ）の数字を答えなさい。 ５枚とも表の状態 見えている５つの数字の合計は１９ 左の３枚を裏返す 見えている５つの数字の合計は２０ 右の３枚を裏返す 見えている５つの数字の合計は３５ 左の４枚を裏返す 見えている５つの数字の合計は１１ 右の４枚を裏返す 見えている５つの数字の合計は３１

　ちょっと前置きが長くなりました。本題に戻ります。高速道路が千円で乗り放題だから車を貸して欲しいというコマ大チームはプールで検証。「カックロ」ならぬ「シンクロ？？」でプールの底に沈んである０から９のカードを５人が２枚ずつ取り条件に合うように表、裏を決める。計算の間ずっと潜っているため、全員息が続かず、天国行き寸前（別に「息」と「行き」をかけたわけではありませんよ）そんなとき水に潜っていたためか久しぶりのアタルチャンス！！あることに気が付いたため、それを手がかりに苦しみながらも答えを導いた。

今回もごめんなさい

・３番目の条件で５つの数字の合計は３５。合計が３５になる５つ数字は「５，６，７，８，９」の場合しかない（まだどの数字がどこに入るかは分からない） ・４番目の条件で５つの数字の合計は１１。合計が１１になる５つ数字は「０，１，２，３，５」の場合しかない（これもどの数字がどこに入るかは分からない） ・３、４番目の条件で、両方見えているカードは一番右の裏の数字。ここには上の２組の５つの数字に共通して入っている「５」しか当てはまらない。また一番右のカードの表は両方で見えていないので、ここには２組の５つの数字に使われていない「４」が当てはまる。 条件１ 条件２ 条件３ 5,6,7,8,9 が入る。 条件４ 0,1,2,3,5 が入る。 条件５ ・５番目の条件について一番右は４、一番左は４番目の条件の数字「０，１，２，３」のいずれか。残り３枚は「６，７，８，９」のいずれか３つが入る。この５枚の合計が最大になるのは一番左が「３」残り３枚が「７、８、９」一番右が「４」のとき。このとき合計はちょうど３１になるため、この組み合わせが５番目の条件で見えている数字である（７、８、９がどこに入るかはまだ分からない）これで一番左の表が「３」裏が３番目の条件の残っている数字「６」になる。 条件１ 条件２ 条件３ 6,7,8,9 が入る。 条件４ 0,1,2,3 が入る。 条件５ ・１番目と４番目の条件の中央３枚のカードの並びを比較すると真ん中だけ裏返しになっている。４番目の中央３枚のカードは「０，１，２」のいずれか。１番目の中央３枚のカードの合計はは１９−３−４＝１２となるため、裏返しにならない２枚のカードが「１，２」以外なら中央のカードの表は１０以上になる。よって裏返しにならない２枚のカードは「１，２」、中央のカードの表は１２−１−２＝９となる。これから中央のカードの裏は０となる。 条件１の中央のカードについて （両端のカードの数字は位置が逆の可能性もあります） 条件１ 条件２ 条件３ 7,8,9 が入る。 条件４ 0,1,2 が入る。 条件５ ・あとは２番目の条件から考えると残りのカードの数字が分かる（いいかげんでごめんなさい） 条件１ 条件２ 条件３ 条件４ 条件５

コマ大チーム	３，１，９，２，４	検証の結果。３番目の「合計が３５」となるのは 「５，６，７，８，９」となることから導いた。
東大生チーム	３，１，９，２，４	裏と表の数字を文字に置き換えて連立方程式を立てた
マス北野	３，１，９，２，？？	「合計が３５」となるのは「５，６，７，８，９」 となることは分かっていたが時間が足らず。

正解は
３，１，９，２，４
（裏は６，８，０，７，５です）

コマ大チーム、東大生チーム正解！！

　というわけで見事な理論攻めで答えを出した東大生チームにコマ大フィールズ賞が渡った。ポヌさんが卒業して一人で苦労しているマス北野。でも１勝２敗だからまだわかりません。なんでしたら…

ゾマホンさんを入れますか？

おまけ

問題：三角形ＡＢＣの外接する円周上を動く点Ｐがある。ＰからＡＢ，ＡＣにおろした垂線の足をＭ，ＮとするときＭＮの長さが最大となるＰの位置を作図せよ。

　「ヤ〜レン、ソ〜連、ソ〜連」と私が同時に歌うことができるほど定番のねたを披露した（？）コマ大チーム。今回は円の問題ということで久しぶりに「ラート師匠（ただの無法松です）」の登場。ラートに三角形の紙を貼り、点Ｐを決めながらＭＮが最大になる長さを探していく。ラートだけあれば検証ができるからラート師匠はいらないんじゃない、と思ったが、時に逆さまに時に横向きになりながらも耐えるラート師匠を見ていると、やはりラート師匠は必要だと感じた…

ある意味で

　今回の問題。私も図を書いてあれこれ考えた。考えた結果「ＡＢ，ＡＣから遠く離れたところの点」がＭＮを最大にしてくれそうであると思った。念のため極端な三角形の場合も考えた。

何となく最大の長さ…

• 弧ＡＢの中間にあたる点
• 角ＢＡＣの二等分線上と円周上の交点

あっ！二つとも同じ点だよ

　マス北野と東大生・秒殺シスターズも今回の問題はやや苦戦。点の位置は何となく分かるが証明となると…という感じ。東大生のプチ情報は「今読んでいる本」伊藤さんはアインシュタイン、衛藤さんは代替医療（「代替医療」とは鍼灸やアロマセラビーなどの通常病院で行わない医療のこと）のいずれも洋書。さすが東大生。ちなみに私は大学生の頃、大学の図書館で「数学セミナー」のバックナンバーを読みあさっていました。

　各組の答えは次の通りになった。

コマ大チーム	Ａからへその辺りを通った線との交点	検証の結果
東大生チーム	辺ＢＣの垂直二等分線との交点	点Ａから遠いほどＭＮは長くなる… しかし確信は持てず
マス北野	Ａを通る直径との交点	直径を一辺とする三角形で説明 しかし他の三角形では確信が持てず
左は東大生チームの図。右はマス北野の図（ＢＣが直径の時）

正解…点Ａと直径を作る点がＭＮを最大にする点

ＡＰを直径とする円を描くと、Ｍ，Ｎの２点はちょうどその円周の上にある。また「円周角の定理」（覚えていますか？）から 角ＭＰＮ＝角ＭＡＮ＝角ＢＡＣ ただし、Ｐが弧ＢＣ上にあるときは 角ＭＰＮ＝１８０度−角ＢＡＣ さらにＡＰを直径とする円の中心をＯとすると、 角ＭＯＮ＝２×角ＭＰＮ＝２×角ＢＡＣ ただし、Ｐが弧ＢＣ上にあるときは 　角ＭＯＮ ＝２×（１８０度−角ＭＰＮ） ＝２×（１８０度−（１８０度−角ＢＡＣ）） ＝２×角ＢＡＣ つまり角ＭＯＮは常に一定である。このことからＭＮの長さは円の直径ＡＰ（半径ＰＯ）と比例することが分かる。ＡＰの長さが最大になるのはＡＰが問題の円の直径になるときであるため、このときＭＮの長さが最大になる。

今回はぴったり正解した組はいなかったが「理由はともかく作図から」一番正解に近いコマ大チームにコマ大フィールズ賞が渡った。ラート師匠は昨年７月の「回転」に続いてコマ大フィールズ賞に貢献した。ひょっとしたら今年は…

ラートブーム到来か？

２つの数の和	３つの数の和
３＝１＋２　　４＝１＋３ １７＝８＋９　１６＝７＋９	６＝１＋２＋３　　７＝１＋２＋４ ２４＝７＋８＋９　２３＝６＋８＋９

４つの数の和

１０＝１＋２＋３＋４　　　１１＝１＋２＋３＋５ ３０＝６＋７＋８＋９　　　２９＝５＋７＋８＋９

５つの数の和

１５＝１＋２＋３＋４＋５　１６＝１＋２＋３＋４＋６ ３５＝５＋６＋７＋８＋９　３４＝４＋６＋７＋８＋９

Ａ，Ｂは８，９　　Ａ，Ｃは７、９が入る

Ｄ，Ｅは１，３　　Ｄ，Ｆ，Ｇは１，２，４が入る