問題：５人の政治家がいて、いくつかの派閥があります。派閥とは１人以上の政治家が属する集団のことです。２つの派閥は、もしその両方に属する政治家と、どちらにも属さない政治家が共に存在すれば、かならず一方の派閥が他方の派閥を含むものとします。 　このとき派閥の個数の最大値を求めなさい。 （ただし、５人全員からなる集団も派閥であるとします）

余計分かりにくくなったかな？

　ここしばらく調子がいい、というか知っている問題が出されていた私だったが、今回の問題は始めて見た。上のように式で書いてもやっぱり分からず仕方なく図を使って書き直してみた。

右の図のように２つの派閥に両方に入っている政治家（黒丸） と両方に入っていない政治家がいる（左上の図）とき、 右上や左下のような派閥の関係はＯＫだが、右下のように政治家が いる関係の派閥は作れない。 （黒丸の政治家は２人以上い入る場合も含む）

五人の政治家をＡ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅとしたとき、五人それぞれが１人で作った一派閥ずつ、計５つの派閥と ｛Ａ，Ｂ｝｛Ａ，Ｂ，Ｃ｝｛Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ｝｛Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ｝ の４つの派閥。

上の９つの派閥に ｛Ｄ，Ｅ｝｛Ｃ，Ｄ，Ｅ｝｛Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ｝ の３つの派閥を加えてもＯＫ。

コマ大チーム	３５個	様々な派閥を作った結果
東大生チーム	９個	私の解答の始めの９個の派閥を考えた。
マス北野	１５個	よく分からないが １＋２＋３＋４＋５＝１５と計算

正解…１５個、マス北野正解！？

２つの派閥について ・「両方の派閥に入る政治家」と「両方に入っていない政治家」がいる場合は上の説明から必ず一方の派閥がもう一方の派閥に入っている。 この条件が成り立たないときは次のような関係のとき ・「両方の派閥に入る政治家」がいないとき ・「両方の派閥に入っていない政治家」がいないとき、つまり５人全員どちらかの派閥に入っているとき これらの関係の派閥については何も制限がない。つまり２つの派閥の関係は上の３つの関係のいずれかであればよい。

・ある派閥の集合が問題の条件を満たしているとき、そこに１人だけから成る派閥を加えても問題の条件を満たす。 　例えば政治家Ａの１人だけの派閥｛Ａ｝について Ａが入っていない派閥とは「共に入っている政治家がいない」関係 Ａが入っている派閥とは「一方の派閥｛Ａ｝が他方の派閥に入る」関係 となるため上で書いた３つの関係のいずれかになる。 同じようにして５人それぞれが１人だけの派閥を作って派閥の集合に加えても問題の条件は満たされる。

・ある派閥の集合が問題の条件を満たしているとき、そこに５人全員から成る派閥を加えても問題の条件を満たす。 　例えば５人全員の派閥｛Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ｝について 他のどの派閥とも「一方の派閥が他方の派閥｛Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ｝に入る」関係となるため上で書いた３つの関係のいずれかになる。

・ある派閥の集合が問題の条件を満たしているとき、そこにある４人から成る派閥を加えても問題の条件を満たす。 　例えば４人の派閥｛Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ｝について Ｅが入ってない派閥とは「一方の派閥が他方の派閥｛Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ｝に入る」関係 Ｅが入っている派閥とは「５人全員がどちらかに入っている」関係 となるため上で書いた３つの関係のいずれかになる。４人から成る派閥は全部で５個作ることができる。

以上より問題の派閥の最大数は 「条件を満たす２人または３人から成る派閥の最大数」＋５＋１＋５ となる２人の派閥、３人の派閥で問題の条件を満たす関係を考えると次のようになる。 ２人同士の派閥　　→　「共に入っている政治家がいない」関係 ３人同士の派閥　　→　「共に入っている政治家が１人しかいない」関係 ２人と３人の派閥　→　「共に入っている政治家がいない」または 　　　　　　　　　　　「３人の派閥が２人の派閥を含む」関係 この関係を満たす２人または３人から成る派閥の最大数は例えば {A, B}, {C, D}, {A, B, E}, {C, D, E} のような４つの派閥を作ることができる。 以上から問題の条件を満たす派閥の最大数は「４＋５＋１＋５＝１５」と成る。

私のガッツポーズをむなしく思ってしまった。

「ズバリ聞くわよ(7/9)」

問題：ある数を当てるゲームをします。しかし 「その数はいくつですか？」 「その数から５を引くといくつになりますか？」 などのように、直接答えを聞き出す（解答からある数を導き出せる）質問をしてはいけません。 　なるべく少ない回数で、どんな数でも当てられる質問を考えなさい。

ま、知ったところで何の得もないんですが

　実は先週の最後に「次回は『マス北野のズバリ聞くわよ！』」と書かれていたので、ひょっとしたら視聴者の質問に答えるという特別企画かと思っていた。問題をよく見て思いついた質問がこちら

「その数は何桁ですか？」	相手は桁数を答える（例えば４桁と答える）
４桁のとき√１０＾４＝１００という計算する。
「その数を１００で割った商はいくつですか？」	相手は商を答える（例えば３２）
「その数を１００で割った余りはいくつですか？」	相手は余りを答える（例えば９）
これから相手の考えた数は３２×１００＋９＝３２０９で あることが分かる。
例えば相手が「３桁」と答えたときは√１０＾３に近い整数 （たとえば３１）で割った商と余りを答えさせる。

　今回は質問を考えたら竹内先生の所に行き実際に数当てをするという形式（他のチームにはこのやり取りは聞こえない）一番手で来たのはマス北野。ここで『２回』の質問で答えを導くことができた。あ、それでいいんだ 正直少々拍子抜けしてしまった。そのあと東大生チームも『２回』の質問で終了。
　そして大健闘が期待されるコマ大チーム。あのスプーンを持って無法松が竹内先生のところへ。ここでこのスプーンがマジックミラーとなって内側から透けて見えることが発覚。コマ大チームはやっぱりコマ大チームであった。

　とにもかくにも３組とも答えが出揃った模様。

コマ大チーム

「その数の桁数いくつですか？」 「その数奇数ですが偶数ですか？」 「その数は５以上ですか？」 「その数は素数ですか？」 という４回の質問

東大生チーム

「その数を１０で割った商はいくつですか？」 「その数を１０で割った余りはいくつですか？」 という２回の質問

マス北野

「その数の桁数はいくつですか？」 「その数を１０＾ｎ−１で割った答えはいくつですか？」 （ｎは始めの質問の桁数） という２回の質問。マス北野はもう一つ 「その数の桁数はいくつですか？」 「その数を１０＾ｎで割った余りはいくつですか？」 という質問も考えていた。

正解…２回、マス北野、東大生チーム正解！

「その数の桁数はいくつですか？」 「その数を１０＾ｎで割った余りはいくつですか？」 （ｎは始めの質問の桁数）

例えば当てる数が「１３７」の場合

「その数の桁数はいくつですか？」…「３桁」と答える。 　しかしこの質問だけでは「その数」は１００〜９９９のいずれかという ことは分かるが特定はできない。

「その数を１０＾３＝１０００で割った余りはいくつですか？」…「１３７」と答える。 　しかしこの質問だけでは「その数」は下３桁が１３７であることは分かるが 特定はできない。

上の２つの質問に共通して当てはまるのは「１３７」だけ、と特定できる。

　今回は微妙な判定だったが久しぶりにマス北野にコマ大フィールズ賞が渡った。今回私はじっくり考える前に「２回」という答えが出てしまったので見るだけになりました。

私の勇姿は次回、ということで