問題：正八面体の一つの面を水平な面に置いたとき、 真上から見るとどのような形に見えるか図で描きなさい。

んんん〜〜〜？？？こんな簡単でいいのか？

　博多めんたいが好きな無法松率いる（？）コマ大チームの検証は「科学技術館」にて行われた。職員の丸山さんと共に白衣を着ているコマ大チーム。ここで「正八面体を作る」と聞いたときに「まさか」と思ったら予想が的中した

ミョウバンの結晶を作り始めた。

1. 水の温度を上げながら、ミョウバンを少しずつ入れ溶け切れなくなるまで入れる。
2. ミョウバンが溶けた溶液をろ過させる。
3. ろ過しきれずに残った塊からミョウバンの結晶ができる。

　先週、先々週と驚異的な底力を見せたマス北野。今回もひらめきで…と思ったら紙を切り始めた。コマ大の苦労して作った正八面体を紙で一気に作ろうとした。さすがの竹内先生も唖然。時間内に作ることができるのか。一方東大生チーム木村・山田ペアはこつこつと計算を進める…と思ったら「くねくねダンス」を踊り始める。これまた唖然。

　今回も解答が揃いました。

全チームこんな形

　コマ大チームは正確さには欠けるが正解…ということで今回は全員正解となった。東大生チームはこの形の一辺の長さを求めていた。竹内先生も同じ解説をした。

（正八面体の一辺の長さを１とする。） 　正八面体を真ん中で切る。ピタゴラスの定理を使って計算すると断面は 底辺が１、残り２辺が√３／２の二等辺三角形をくっつけた菱形になる。 　問題の通り、一つの面を水平に置いたとき、この菱形の一辺を水平にした形になる。 このとき４つの頂点間の横の距離を計算すると、右下のような距離になる。 （この計算は２つの緑の直角三角形が相似であることを使う…とのこと） このことから上から見た図は正６角形になり、上の面が正６角形の対角線で作られる 正３角形になる。

問題：円に内接する５角形ＡＢＣＤＥがあります。以下の条件を満たすとき∠ＢＣＤと∠ＣＤＥの大きいほうの角の角度を求めなさい。 ＡＢ＝ＢＣ，ＤＥ＝ＥＡ ∠ＢＡＥ＝１０５度 ∠ＢＣＤと∠ＣＤＥの角度の差は２５度

今回も簡単に解けるな

　前回は見事なミョウバンの結晶を作ったコマ大チーム。今回は打って変わって体力勝負（？）。両国国技館の近くにあるとあるお店。そこには大相撲の土俵と同じ大きさの土俵がある。その土俵を使って問題の５角形を作ることに挑む。
　角度はどのようにして作るか？相撲の基本「股割り」で角度を作る。しかし平均年齢４０歳前後のコマ大チームに股割りは無理だった。ということでゴムパッチンを使って５角形を作る。何度も顔面にゴムが当たりながらもどうにか正解の５角形を作り上げた。検証時間１時間２０分。お疲れ様でした。

　さて、私の計算はどうなったかというと、どうも答えが出ない。私が進めた計算は以下の通り。

∠ＡＢＣと∠ＤＥＡの角度の差が２５度と見て考える。 例えば ∠ＡＢＣ＝ａ度 とすると ∠ＤＥＡ＝(ａ＋２５)度 となる。 　ＡＢＣとＤＥＡが共に二等辺三角形になることから２つの三角形の残り２つの角度がそれぞれ求まる。 　５角形の内角の和５４０度からこの２つの三角形の内角の和を引いて、ＡＣＤの内角の和を計算する…

コマ大チーム	１２５度	検証の結果 正直「よく答えが出せたな」と感心
東大生チーム	１２５度	対角線を引いて計算。
マス北野	１２５度	中心と各頂点を結んで計算

東大生の解法（下左の図）： 　５角形の対角線を引く。「同じ長さの弦からの円周角は常に同じ」という性質から 黒丸の角度と赤丸の角度はそれぞれ等しい。このことから 黒丸＋赤丸＋（１８０−２×（黒丸＋赤丸））＝１０５ ｜黒丸−赤丸｜＝２５…両端の縦棒は絶対値のこと。 これを計算すると（黒丸、赤丸）は（５０、２５）または（２５，５０）となる。 これから∠ＢＣＤと∠ＣＤＥは１２５度か１００度になる。よって大きいほうの１２５度が答え。 マス北野の解法（上右の図）： 　５角形の各頂点と円の頂点を結ぶ。このとき図の青と緑の三角形はそれぞれ合同な二等辺三角形である。このことから ∠ＡＢＣ＋∠ＤＥＡ＋∠ＥＡＢ＝３×（黒丸＋赤丸）＝３１５度 このことから∠ＢＣＤ＋∠ＣＤＥ＝５４０−３１５＝２２５度となる。この式と∠ＢＣＤと∠ＣＤＥの差が２５度であることから２つの角度が１２５度、１００度であることが分かる。

言われればそうなんだよな…

下の四角形ＢＣＤＥを裏返して上の三角形ＡＢＥと合わせる。 　このときＡＢＥと合同な三角形（青と緑の三角形）が２つ作られるため、上の３つの角度が共に１０５度になる。 　これより残り２つの角（∠ＢＣＤと∠ＣＤＥ）の角度の和は５４０−３×１０５＝２２５度。 　この２つの角度の差が２５度である条件から２つの角度が１２５度と１００度であることが分かる。

言われればそうなんだよな…