渋！

渋！…というか何と言うか…

問題：立方体の箱に１００本の輪ゴムをかけるとき、交点は最も多くて何個できるでしょうか。 ただし、輪ゴムは立方体の辺に直角に交わり、向きが同じ輪ゴムは重ならないものとする。

　輪ゴム１００本をかけるのは意外と時間がかかるようで、交代で作業を行い、残りはタイヤ公園で遊んだ。１時間半後どうにか箱に輪ゴムが１００本かけることができた。で、肝心の「交点の数」はＡＤに数えさせてコマ大チームはとっとと帰ってしまった。 交点は数え切れたのでしょうか？？

　竹内先生によると「簡単なのですぐに答えが出るのかも？」ということ。その予想通り、東大生チームは早々と答えを出した。マス北野も答えが計算が進んでいる様子。私も同じように計算が着々と進んでいる。

上の式の括弧の中の２つの式が小さいほど元の式の値が大きくなる。b, a とも 整数であることを考えると。２つの式が小さくなるのは、 a=33, b=34 のときになる。これより c=33 となる。この３つの値を最初の式に代入すると求める交点の最大値は 6600 個となる。

　各組の解答は次の通りになりました。

コマ大チーム	４２００個	検証の結果。おそらく３０本と ７０本の２方向にかけていた。
東大生チーム	６６００個	式を作って計算 しかし後で間違いに気付く。
マス北野	６６６６個	東大生と同じ計算法 後は力づくの計算、とのこと

正解…６６６６個、マス北野正解！！

　放送を見た後、交点が最大になるかけ方の証明を考えてみた。いくつか思いついたがここでは帰納法を使った方法を御紹介します。

何本か輪ゴムがかかっている状態で新たに１本輪ゴムをかけて、交点を一番多く増えるときは… 加える輪ゴムと交わる輪ゴムの数が一番多いとき 逆に考えると 加える輪ゴムと交わらない輪ゴムの数が一番少ないとき ３方向に同じ本数だけ輪ゴムがかかっているとき このときはどの方向にかけても交点の数は変わらない。 （左の図） １方向が残り２方向より１本だけ多く輪ゴムがかかっているとき 交点が少なくなる方向は１本少ない２方向のいずれかになる。どちらかに輪ゴムをかける。 （中央の図） ２方向が残り１方向より１本だけ多く輪ゴムがかかっているとき 交点が少なくなる方向は１本少ない１方向になる。その１方向にかける （右の図）

計算法をたくさん思いつくなら、正解を出せ

問題：ある線分の２等分点、３等分点、４等分点と順に新しい等分点にだけ印をつけていきます。１５等分点に印を付けたとき、新たに増える印の数を答えなさい。 上の図では４等分点まで印をつけたところ。４等分点のうち一つは２等分点ですでに印があるため、新たに付けるのは２点のみ

あっ、あの数列のことか。

　コマ大の検証は先週、先々週と続き、蒲田で行われた。この商店街で毎年行われた「ハロウィン祭」が今年はインフルエンザの影響で中止。ということでコマ大が少しでもハロウィンで盛り上げたいと立ち上がった…
　問題の線分に見立てた発泡スチロールのブロックの列に２等分点、３等分点…と印をつけていく。印にはハロウィンのかぼちゃのイラストや、蒲田の名物「羽付き餃子」の写真などが使われた。一つ一つ印をつけていき、最後の１５等分点も終了。答えも出た模様である。というわけで、蒲田の人が一切出演しなかった３週間のロケであった。

　今回の問題。いきなり東大生チームが答えを出した。

やっぱり

もう少し難しい問題お願いしますよ

コマ大チーム	８個	検証の結果
東大生チーム	８個	計算の結果
マス北野	８個	計算の結果

正解…８個、全員正解！！

線分の長さを１とすると１５等分点の各点の間の長さは 1/15 となる。 線分の左端から各等分点の間の長さは 1/15 2/15 3/15=1/5 4/15 5/15=1/3 6/15=2/5 7/15 8/15 9/15=3/5 10/15=2/3 11/15 12/15=4/5 13/15 14/15 このうち赤で書かれている２個は３等分点としてすでに印がつけられている。同じく 青で書かれている４個は５等分点としてすでに印がつけられている。つまり新しく印をつける点は１４−２−４＝８個である。

２以上の自然数 n に対して、０以上１以下で分母が n の既約分数（それ以上約分できない分数）を小さい順に並べる（ただし 0=0/1, 1=1/1 も加える）n が２から６までの時の数列を作ると次のようになる。 0/1 1/2 1/1 0/1 1/3 1/2 2/3 1/1 0/1 1/4 1/3 1/2 2/3 3/4 1/1 0/1 1/5 1/4 1/3 2/5 1/2 3/5 2/3 3/4 4/5 1/1 0/1 1/6 1/5 1/4 1/3 2/5 1/2 3/5 2/3 3/4 4/5 5/6 1/1 この各数列を「ファレイ数列」と呼ぶ。 ファレイ数列の性質、その１： a/b と c/d がこの順序で隣り合って並んでいるとき、bc-ad = 1 が成り立つ。 例：3/5 と 2/3 が隣りあっている、このとき 5*2-3*3 = 10-9 = 1 となる。 ファレイ数列の性質、その２： a/b, c/d, e/f がこの順序で隣り合って並んでいるとき、c/d = (a+e)/(b+f) が成り立つ。 例：2/3, 3/4, 4/5 がこの順序で隣り合っている、このとき (2+4)/(3+5) = 6/8 = 3/4 が成り立つ。

問題：７人の男性と１人ずつ順番にお見合いをします。女性はお見合いの場で男性と交際するか断るかを決めてください。 　いったん交際を決めたらそれ以降のお見合いはなくなります。また、交際を決めた後、他の相手に変更することもできません。 　一番良い男性と交際する確率を最大にするためにはどのような戦略をとれば良いのでしょうか。

　コマ大チームの検証は実際にお見合いをしてみよう。ということで女性２人を呼んで、７人の男性とお見合いを行った。１人が４人目の構成作家と交際を決めた。もう１人が６人目の男性を選んだところで、すでに相手を決めた一人目が乗換え（？）を希望。しかしこれはルール違反。かくして一応２組のカップルが決定。このあと実際は誰が一番だったかを聞いたところ、コマ大チームは意外な戦略を見つけたみたい。

　この問題を見てマス北野は一言「これは『ナンパ問題』だな」と宣戦布告。これはマス北野には有利か？さらにマス北野には助っ人ポヌ・ジョシアヌが帰ってきた。約半年振りのマス・ポヌペアである。

　実は私もこの種類の問題は聞いたことがある。たしか答えはこんな感じだったはず。

１，２人目	見過ごす（２人とも断る）
３，４人目	初めの２人より上ならば 交際する
５，６人目	初めの４人より１番上、または ２番目ならば交際する
７人目	交際する

１，２人目	見過ごす（２人とも断る）
３，４，５人目	初めの２人より上ならば 交際する
６，７人目	交際する

　さあ、ポヌさんが帰ってきて、マス北野のひらめきは更に増したのか？各組の解答は次の通り。

コマ大チーム	１番目の人と交際	検証の結果。 女性２人の解答が一致した。
東大生チーム	１番目より上の人がいれば 交際する。	７人の男性に順位をつけ 期待値を計算
マス北野 ポヌペア	３番目以降、上位の人が いれば交際（詳しくは下を）	こちらは確率の計算と マス北野の記憶から

マス北野の解答（詳細）
１，２人目	２人とも断る
３人目	前の２人より上ならば 交際する
４人目	前の３人と比べ上位２番 までなら交際する
５人目	前の４人と比べ上位３番 までなら交際する
６人目	前の５人と比べ上位４番 までなら交際する
７人目	交際する

正解の戦略…次の通り

１，２人目	見過ごす（２人とも断る）
３，４，５，６人目	初めの２人より上ならば 交際する
７人目	交際する

私の答えが一番近い

• とりあえずデータとして始めの何人かを見る（つまりこの人たちには断る）
• そのあとの男性を見て、データの人たちより上であれば交際を決める。

一番良い男性をＡさんとする。 データとなる人数を（ｓ−１）人とし、残りのｓ番目以降中から交際する相手を決める。 Ａさんが１番目、２番目、…、７番目に出てくる確率はそれぞれ１／７と等しい。 Ａさんがｓ−１番目までに現れたら、データとして断るため交際することはない。そのためこのときの確率は０になる。 Ａさんがｓ番目以降（例えばｋ番目）に現れるとき、ｋ−１番目までに現れる男性の中で一番良い男性（例えばＢさん）がいつ現れるかを考える。 Ｂさんがデータの中に入れば、Ｂさんより良い男性で最初に現れるのはＡさんになるため、見事Ａさんと交際することができる。 　こうなる確率は（ｓ−１）／（ｋ−１）になる。 Ｂさんがデータの中に入らなければ、データを取った後、ＡさんよりＢさんが先に現れるため、良くてもＢさんと交際することになる（Ｂさんより前にデータより上の男性が現れるとその人と交際する）少なくともＡさんと交際することはない…というよりか会うこともない。 以上よりＡさんと交際する確率は となる。

ｓ	確率
２	７／２０（＝０．３５）
３	２９／７０（＝約０．４１４）
４	５７／１４０（＝約０．４０７）
５	３７／１０５（＝約０．３５２）
６	１１／４２（＝約０．２６２）

　今回はぴったしの解答をした人はいなかったが答えが近いこととポヌさん復帰記念ということでマス・ポヌペアにコマ大フィールズ賞が渡った。今回の問題を見ながらふと思った。

お見合い…してみようかな…

問題：１辺の長さ１の正方形のタイル８００枚を隙間なく並べて縦２５、横３２の長方形を作ります。 　この長方形の対角線１本が通過するタイルの枚数を求めなさい。

これね、簡単な計算方法があるんですよ…
…どんなんだったけな？

　たけし軍団への「就活」ならぬ「弟子入り」の話をしていたコマ大チーム。今回は久しぶりにスタジオの屋上で検証を行った。検証は正方形の折り紙を問題の通りに並べて対角線を通る折り紙の枚数を数える、といういわば「コマ大方式」の検証。しかし、検証の日は台風が通過している日だったため、正に悪天候。折り紙を並べられないため検証を中断する場面もあったが、どうにか折り紙を並べ終え、答えも出すことができたようである。

　今回の問題、真っ先に答えを出したのはマス北野であった。久しぶりの「閃き」と復活の「ポヌパワー（？）」なのか。一方少し遅れて東大生チームも答えを出した。私はあれからも

…どんなんだったけな？

上の図は縦４、横７の場合。縦の線それぞれについて下の辺から対角線までの長さを測ると図のように４／７ずつ増える。この長さが１、２…を超えるたびに一つ上の列に移動するため、対角線が縦に二枚の正方形を通過することが分かる。 　問題では下の辺から対角線までの長さは２５／３２ずつ増えている。これを上の例と同じように考えると １列目 ２５／３２ １枚通過 ２列目 ５０／３２＞１ ２枚通過 ３列目 ７５／３２＞２ ２枚通過 ４列目 １００／３２＞３ ２枚通過 ５列目 １２５／３２＞３ １枚通過 ６列目 １５０／３２＞４ ２枚通過 ７列目 １７５／３２＞５ ２枚通過 ８列目 ２００／３２＞６ ２枚通過 このまま「１，２，２，２…」と通過する枚数が増えると…２８枚ぐらいかな？

コマ大チーム	５６枚	検証の結果。折り紙を貼り 富士山の絵を描いた
東大生チーム	５６枚	縦の枚数＋横の枚数−１ という法則を見つけた。
マス北野 ポヌペア	５６枚	東大生と同じく 縦の枚数＋横の枚数−１の計算から

あ！間違えた！

と言うわけで、正解…５６枚、全員正解

対角線が縦、横の線を通過する回数を考える。１回通過するたびに新しい正方形に移るため、通過する正方形の枚数は「通過する縦、横の線＋１」となる。 　上の図の「縦４、横７」や問題の「縦２５、横３２」の場合、縦と横の枚数の最大公約数が１であるため、対角線が通過する回数は （縦の列−１）＋（横の列−１）＝縦の列＋横の列−２ となる。このため通過する正方形の枚数は （縦の列＋横の列−２）＋１＝縦の列＋横の列−１ となる。また「縦４、横６」のように縦と横の枚数の最大公約数が２以上であるとき も含めて、通過する正方形の枚数は 縦の列＋横の列−最大公約数 となる。 上の図は「縦４、横６」のとき。このとき通過する正方形の数は ４＋６−２＝８となる。