問題：１辺の長さが１の正八角形の周上を３点Ｐ，Ｑ，Ｒが動くとき三角形 ＰＱＲの面積の最大値を求めよ。

ん〜〜シンプル。

　まずはコマ大の検証。今回は正八角形の問題ですので、正八角形のものを使って検証を行った。正八角形の物って何かあったっけ？実は建造物には上から見ると正八角形の形をしているものが数多くある。コマ大でも何回かお世話になった「Google Map」でそれらの建物の画像を印刷。建物の周上に３点を選び三角形の形に切り取り重さを量る。面積を重さで決める。コマ大の真髄（？）である。

　とりあえずと適当に切り重さを量ったダンカン部長。この重さを超える三角形探し出そうとするが見つからない。諦めかけたそのとき、記録更新を達成。その主は「お宮の松」。さてコマ大チームは「お宮の松チャンス」で久々のコマ大フィールズ賞を手にできるか？

　私も紙の上であれやこれや考えたがどうしてもこの形が大きいようである。

この形が最大の面積？

　いち早く答えを書いた東大生チーム。晴れ着姿を披露した山田さんに対して「騙しがいのある」といかがわしいコメント。木村さんが成人式で思っていた「バラ色の人生」はこの番組で崩れたのだろうか…

　各組の解答はご覧の通り。

コマ大チーム	０．４６１ｇ	検証の結果。上の三角形の頂点を ちょっとずらした位置の三角形
マス・ポヌペア	２＋√３	上の形を考えたが 計算で間違えた…みたい
東大生チーム	（４＋３√２）／４	上の形の三角形の面積を求めた

正解…（４＋３√２）／４　東大生チーム正解！

問題：図のような碁盤の目状の道路があります。Ｓ地点を出発して道路上を東、または北に進んで、Ｇ地点に到達する経路を考えます。その経路のうち、Ａ地点とＢ地点を共に通る経路は何通りあるでしょうか？

ごめんなさい。すぐ解いちゃいました。

ごめんなさい。３０秒ぐらいでした。

　３人の方に問題を解いていただいたところ次のような結果になりました。

北大ＯＢ植田さん	解くことができず時間切れ
北大ＯＧ杉山さん	５１秒で正解を導いた。
北大ＯＢ鈴木さん	２５秒で正解を導いた。

年末のスペシャル、福岡じゃなかったぞ！！

　前回の「東京六大学」の時と同様に、東大生チームとマス・ポヌペアは問題は事前に見ることはできなかった。しかし鈴木さんと負けず劣らずの速さを見せる東大生チーム。あっという間に答えを出した。今回はすっかり蚊帳の外となったマス・ポヌペア。マス北野は「問題も読み終えていないのに」と一言。しかし、問題を黙々と解く。この「大学に挑戦」シリーズに関して、マス北野は速く答えることにあえて挑まず、じっくり考えている様子である。

　各組の解答は以下の通り（今回コマ大チームの解答はお休み）

マス・ポヌペア	７０通り
東大生チーム

正解…７０通り　全員正解！！

条件を満たすように進む道は Ｓ→Ａ、Ａ→Ｂ、Ｂ→Ｇ の３つに分けられる。 Ｓ→Ａの道は図の様に２通りの進み方がある。Ａ→Ｂ は１通りの進み方しかない。 　交差点の間の道のりを「１つ」と数えるとＢ→Ｇの道は７つ進み、 このうち４つは東に進み、３つは北に進む道である。 　７つの道のうち３つを北に進む道にする進み方は ７×６×５／３×２×１＝３５通り 以上からＳからＧに進む経路のうち、Ａ，Ｂの２地点を通る 経路は ２×１×３５＝７０通り

マス・ポヌペア	２分２３秒
東大生チーム	３０秒

年末のスペシャル、見せてくれ！！

おまけ

問題：同じ通路で図のＡＢ間、ＣＤ間が工事のため通行できない。このときＳからＧまで行く経路は何通りあるでしょうか。 　今回の問題を利用すると （全体の経路） 　　　−（ＡＢを通る経路） 　　　−（ＣＤを通る経路） 　　　＋（ＡＢ、ＣＤを共に通る経路） によって計算できる。 一方、右の図のように各交差点について （南からの経路）＋（西からの経路） を順次計算していく。ただし２ヶ所の工事区間は足し合わせない。 これにより答え（１１３通り）が求まる。

問題：図のような三角錐の展開図がある。 AB = 4, AC = 3, BC = 5 ∠ACD = 90 度 で三角形 ABE は正三角形である。 　このとき三角錐の体積を求めよ。

　先週、北大ＯＢの鈴木さんの活躍を見せ付けられたコマ大チーム。この勝ち運をもらって…と向かった先は都内のアイスバー。ここは床から天井、テーブルまですべて氷でできている。部屋の中の気温は氷点下。店の従業員でも１時間居ることが限度という場所で検証を始めた。

　検証方法は問題の展開図をボードで作り、実際に三角錐を作ってから体積を求める、といういたってシンプルな方法。しかし今回は氷点下の世界、手がかじかんで展開図を作ることができない。苦心して出来上がった三角錐。さて、どうやって体積を求めるのか？ここは氷点下の世界。三角錐の中に水を入れて氷にしてから体積を求めることに。 果たして正解を求めることができるのか？

　「今回はひらめくことができれば早いが」という竹内先生のコメント。そのひらめきが来たのか、東大生チーム「秒殺シスターズ」は二言三言話すと、答えをあっという間に書いた。

早！

　それにしても困った。

まったく分からない。

やっぱり分からない。

コマ大チーム	２．５	検証で作った氷を 水に浮かべて体積を計測
マス・ポヌペア	８√７／５	ＦからＢＣへの垂線が 高さとみて計算
東大生チーム	２√３	三角錐の頂点を作図 して計算

正解…２√３　東大生チーム正解！

三角形ＡＢＣを三角錐の底面として真上から見たとき、頂点Ｄ（Ｅ，Ｆ）の位置は 辺ＡＣ（ＡＢ，ＢＣ）への垂線の上にある。よって頂点の位置は東大生チームが 書いたように、２つの垂線の交点の位置にある。 　次に、この三角錐をＡＢを手前にして真横から見ると、図のような形になる。 ＡＢの中点をＭとするとＤとＭの高さの差がこの三角錐の高さになる。ＡＢＣは正三角形であるため、 ＡＭ＝４／２＝２ 図の真横からの視点では辺ＣＤは横に平行にあるため、ＣＤの長さは変わらない。つまり ＣＤ＾２＝ＡＤ＾２−ＡＤ＾２＝７　⇒　ＣＤ＝√７ よって ＣＭ＾２＝ＣＤ＾２−ＡＭ＾２＝３　⇒　ＣＭ＝√３ となるため、体積は 三角形ＡＢＣ×ＣＭ／３＝６×√３／３＝２√３

この方法は私はすぐに思いつきましたよ。

問題：半径１の円に内接する正六角形がｘｙ平面上にある。１つの辺ＡＢがｘ軸に含まれている状態から始めて図のようにｘ軸を転がり、再び点Ａがｘ軸に含まれる状態まで続ける。 点Ａの描く軌跡の長さを求めなさい。

コツコツと、とにかくコツコツと

　「北大に挑戦」だから北海道でロケかと思われたコマ大チーム。やはり経費がかかるということでロケは近場で済ませる。今回は北海道の名産品を売っている店へ向かった。北海道といえば魚介類をはじめ、うまいものがたくさんある。その売られているものから六角形のものを探して検証に使う、とのこと。

　私はコツコツと計算して答えを出した。

点Ａの軌跡は上の図の赤、緑、紫の線になる。これら３色に分けた部分の長さを計算していく。

　コマ大は六角形のビンを使い、頂点の一つに鉛筆の芯を当てて、問題の通りに動かし線の長さを求めた。マス・ポヌペアと東大生チームも早々と解答を済ませ、久々の「東大生プチ情報」。新しいアルバイトを始めた山田さん、結婚したいと思った男性が現れた木村さんの話を聞きながら北海道土産の「コマイ」を頬張るコマ大チームとマス北野。完全に居酒屋状態であった。各組の解答は以下の通り。

コマ大チーム	７	検証の結果。描いた曲線を ひもで計り取った
マス・ポヌペア	２（２＋√３）π／３	私の計算法と同じ
東大生チーム	１＋√３／３	πを書き忘れた。 私の計算法と同じだが…

正解…（４＋２√３）π／３　マス・ポヌペア正解！

私も間違えそうな凡ミスですので、余り責められません。