「コマ大数学科」に挑む・１０年５月
最終更新日２０１０年６月１５日
フジテレビで深夜に放送されている「コマ大数学科」の問題に解く様子をご紹介します。数学をやってきたので簡単に解ける…と思ったものの…その奮闘振りをお楽しみに。なお、福岡での放送は二週間遅い模様です。そこら辺はご勘弁を。| 「Le Rouge et le Noir (5/5)」 |
| 「正２０１０角形 (5/12)」 |
| 「フェルマー素数 (5/19)」 |
| 「スネルの法則 (5/26)」 |
ご意見がありましたらtfujisaki2006@yahoo.co.jpまでお願いします。
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問題：赤と黒のカードがランダムに裏返して１３枚並べてあります。カードを５回めくって、等間隔に並ぶ同じ色の３枚のカードを見つけるにはどのようにめくれば良いでしょうか？
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そんな中、１人罰ゲームから逃れられたのはアル北郷。他愛のない一人の男が次々と等間隔の３枚の同色のカードを見つけ出す。今回はアル北郷のエスパー（？）にかけることにしたコマ大チームである。
今回の問題、じっくり時間をかければ答えは見つかるが難しい…しかし一つ手がかりは見つけていた。
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５枚目をめくるとき、赤が出ても黒が出ても等間隔に並ぶカードが出るようにする。
例：
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テレビでは久しぶりのマス北野の閃きが出た。少しカードを使って検証して答えを出した。フランス語の自己紹介をした東大生、秒殺シスターズは着実に進めながら答えを導いた様子。私もあれこれ考えた末、時間ぎりぎりで答えを出した…いや、ちょっと遅かったかな？
今回は各組が実際にカードをめくって解答をしていきました。
| コマ大チーム | アル北郷がエスパーを使い、見事に等間隔の ３枚のカードを見つけた。 |
| マス・ポヌペア | マスが中央と「中央から左右に一つ飛ばしたカード」 をめくってから等間隔の ３枚のカードを見つけた。 |
| 東大生チーム | マス北野と同じく、中央と「中央から左右に一つ飛ばしたカード」
をめくってから等間隔の ３枚のカードを見つけた。 |
マス・ポヌペアと東大生チームの解答が正解だった（私も正解でした）今回のポイントは始めに３枚めくった後、４枚目をめくる時に２通りの場合分けがあることである。
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中央のカード（図の矢印のカード）と左右に一つ飛ばしたカードの３枚をめくる。３枚とも同じ色であれば等間隔の３枚のカードが見つかったため終了。
３枚が同じ色にならない場合は次の２通りの色の並び方がある。
その２のとき
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って数冊も読まないと分からない私です。
今回のコマ大フィールズ賞は閃きの勝利、マス・ポヌペアに渡った。解説の中村先生も「この短時間で答えが出るとは思わなかった」と驚いた様子。マス北野ますます元気なご様子です。数学とクイズでくつろいで＜数学の部屋＜「コマ大数学科」に挑む＜「コマ大数学科」に挑む・１０年５月
「正２０１０角形(5/12)」
私事で恐縮ですが、４月からコマ大の問題をノートに書いて解いております。これまでは広告の裏に書いていましたが、しっかりと記録をしておこうと思いノートを使い始めました。もっともこのノートは使いかけで、初めは他のことが書かれてあり、途中からコマ大用にしています。
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問題：正２０１０角形の異なる３頂点Ａ，Ｂ，Ｃの組のうち三角形ＡＢＣの内角がすべて整数度となるものの個数を答えなさい。 （ただし、Ａ，Ｂ，Ｃを並べ替えた組は同じものとみなします） |
コマ大の検証はとりあえず正２０１０角形を作ることから始めた…が、やはり正２０１０角形は作れない、ということで正２０１角形を作ることにした。ひもに等間隔にテープで２０１個の印をつける。これで一応正２０１角形ができた。大喜び…をしている暇はない。問題の条件を満たす３頂点を探さなければいけない。そこで白羽の矢が立った（刺さった？）のはお宮の松。１人自宅にロープを持ち帰り、３頂点を一つ一つ数えていった。
今回の問題、じっくり考えれば解けそうだが時間が短いのが難儀である。しかし解き方は分かっていた。
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２頂点Ａ，Ｂを決めたとき∠ＡＣＢの角度はＣがどこの頂点でも一定である
（ＡＢを挟んで反対の位置にあるときは除く）
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２１７７５０個
計算を見直すのも面倒なので、これを答えにします。今回はスッキリした答えが出てこないためか、マス・ポヌペアも東大生チームも半信半疑で計算を進めていった。マス北野もお宮の松にちょっと誘導尋問。さてさて、どのような答えが出たのでしょうか？
| コマ大チーム | ２７５１０個 | 正２０１角形で２７５１個 見つかったためその１０倍。 |
| 東大生チーム | ４０６０個 | 正３０角形の頂点のうち ３個を選ぶ個数を計算。 |
| マス・ポヌペア | ８，１６０，６００個 | 東大生チームの４０６０個 に２０１０を掛けた値。 |
正解…２７２，０２０個 全員不正解
何と何と久方ぶりの全員不正解！！しかし比べてみると正解の数は東大生チームの６７倍、マス・ポヌペアの３０分の１である。さあ、どのようにして答えを導くのでしょうか？
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正２０１０角形の隣り合う２頂点に対する中心角を求めると
３６０／２０１０ ＝ １２／６７ 度 となる… |
えっ？そうなの？
失礼しました。説明を続けます。
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隣り合う２頂点ともう１頂点Ｐを選び三角形を作ったとき、Ｐでの角度は上のことから
６／６７度となる。 つまり三角形を作って、各内角が整数度になるためには、二つの頂点の間隔は６７の倍数でなければならない。逆に二つの頂点の間隔は６７の倍数である３つの頂点を決めると、これらで作られる三角形の内角は整数度になる。
３０×２９×２８／３×２×１＝４０６０個 この個数は一つの正３０角形に対しての個数である。実際は頂点に選ばれていない正２０１０角形の頂点があるため、それらについても正３０角形の頂点を決めて４０６０個ずつの三角形を見つけることができる。このような正３０角形は全部で６７個あるため、問題の三角形の個数は４０６０×６７＝２７２０２０個 となる。 |
さて「えっ？そうなの？」と言ってしまった私。中心角を求めるときに１２／６７度をなぜか１２／７７度としてしまった。何とも痛恨のミス…というかいつものようなミス。皆さんコマ大の問題を解くときは
最初から電卓をご用意ください。
悔しい…数学とクイズでくつろいで＜数学の部屋＜「コマ大数学科」に挑む＜「コマ大数学科」に挑む・１０年５月
「フェルマー素数(5/19)」
…というわけで電卓を用意しました。
話の流れが分からない方は前回の問題をご覧ください。では問題です。
問題：線分ＣＤを一辺とする正五角形ＡＢＣＤＥの頂点Ａの位置を作図しなさい。
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どうやって作図するんだったっけ？
１００以下の素数を織り込んだ歌を披露したコマ大チーム。正直、この歌は結構役立つかも？と思うがそんなことはさておいて。今回の検証は「道具にこだわってみよう」ということで向かったのは製図道具の会社。ここで今回の作図の問題で使うコンパスを探す。小学生でも持っているコンパスだが種類も様々で高いものは一万円以上もするとのこと。多くのコンパスの中から選びに選んでダンカン部長が最後に一言「このコンパスでスタジオで作図をしていきます」…えっ？
今回は３組同時に問題に挑むことになった。検証で登場したコンパスに感心して問題に集中できない私。多分黄金分割と関係があると思う。確か「（１＋√５）／２」だったよなあ…
で、どこに黄金分割を使うんだっけ？
試行錯誤の上で考えた答えがこちら。
| コマ大チーム | ＣＤの垂直二等分線上に点Ａを探してみた。 |
| マス・ポヌペア | （１＋√５）／２の長さを作り、この長さを持つ ２等辺三角形を作った。 |
| 東大生チーム | （１＋√５）／２の長さを作り、この長さを持つ ２等辺三角形を作ろうとしたが… |
中村先生の判定の結果、マス・ポヌペアは文句なしの正解。コマ大チームは「運がよければ」正解…要するに不正解、ということであった。マス北野は√５の長さの線を作図してから点Ａを求めた。かなり横長の作図の跡が見られたがもう少し簡単に作図ができる、とのこと。
今回のテーマ「フェルマー素数」とは 1 + 2^n という形をした素数のことで 5=1+2^2, 17 = 1+2^4 などがある。1 + 2^n がフェルマー素数であるとき、正 (1 + 2^n ) 角形をコンパスと定規のみで書くことができる。今回の問題に出てきた正５角形も、正１７角形も書くことができる。辺の数が大きいところでは正６５５３７角形もコンパスと定規のみで書くことが一応できる。前回の正２０１０角形の話でも出てきたが５ｍのロープで正６５５３７角形を作ろうとすると一辺の長さは約 0.076 ミリでなければいけない。
コマ大フィールズ賞は今回も黄金比の勝利、マス・ポヌペアに渡った。私は解説を聞きながら「言われればそうなんだよな」と思った。ふと机を見ると
使われなかった電卓が…
次回は電卓使うのかな。数学とクイズでくつろいで＜数学の部屋＜「コマ大数学科」に挑む＜「コマ大数学科」に挑む・１０年５月
「スネルの法則 (5/26)」
今回はスネルの法則。マス北野は「悪いことがあった後は良いことがある」という法則。一方コマ大チームは「お宮の松がいると正解を出せない」という法則を見つけた（？）確かにこの２週コマ大チームは正解を出せていない。もう１人この２週正解を出せていない人がいる…私です。今回は正解を求めたい。
問題：一辺が１０ｍの正方形のプールの一つの角に監視員がいます。
この監視員が水中を１ｍ／秒、プールサイドを２ｍ／秒で移動する場合、
この監視員がプールのどこへでも到達しうるには最短で何秒必要でしょうか |
難問であれ何であれ挑戦するコマ大チーム。今回の検証場所はスパリゾートハワイアンズであった。ハワイのようでハワイでない近くのプール。しかし今回は施設の協力でプールを貸しきって検証をすることができた。問題の通りの１０ｍ四方のプールで泳ぐ役のお宮の松、プールサイドを歩く役のアタルが移動の時間をロープで計測。施設が大々的に協力してくれたが、検証は至って地味にしらみつぶしに最短時間を調べた。
ここしばらくマスの閃きに負けているのは東大生チーム。今回は秒殺シスターズ。久しぶりの秒殺が出るかと思ったが、地道に計算をしていく。マス北野も閃きが出ない模様でポヌさんと話し合いながら計算をしていった。しかし答えにたどりつけない２組…
ここで竹内先生からちょっとしたヒントが出た。「答えとなるプールの地点は（監視員がいる）対角線上」とのこと。私も何となくは考えているが…
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なぜ、この答えが出たか覚えていません。
悪戦苦闘の末の各組の解答は以下の通り
| コマ大チーム | 10.6 秒 | 対角線上の奥から１／４の
地点までの 最短時間 |
| マス・ポヌペア | 11.030 秒 | ポヌさんの解答を採用 |
| 東大生チーム | 5(2√3+3√6)/6 秒 | 約 9 秒。スネルの法則に基づき 60°の角度でプールに入る計算をした。 |
正解… 5(3+2√3)/3 秒、全員不正解
竹内先生はスネルの法則を使わないと解くのに１時間近くかかる、と話していたがそこまで時間はかからないと思う。実は私の計算を進めていけば答えを出すことができたのである。
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両方の時間が等しくなる地点が最も時間がかかる地点になる。
 この t の値を上の式の時間の式に代入すると答えの時間が出てくる。 |
がんばれ！俺の脳みそ！
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