「コマ大数学科」に挑む・１０年６月
最終更新日２０１０年７月１３日
フジテレビで深夜に放送されている「コマ大数学科」の問題に解く様子をご紹介します。数学をやってきたので簡単に解ける…と思ったものの…その奮闘振りをお楽しみに。なお、福岡での放送は二週間遅い模様です。そこら辺はご勘弁を。| 「ＧＣＤ (6/2)」 |
| 「トリコロール(6/9)」 |
| 「未来の東大生に挑戦 (6/16)」 |
| 「競売(6/23)」 |
ご意見がありましたらtfujisaki2006@yahoo.co.jpまでお願いします。
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問題： 各桁の数字が相異なり、どれも０でないような３桁の正の整数ｎがある。 ｎの各数字を並べてできる、６つの数の最大公約数をｇとする。 ｇとして考えられる最大の値を求めよ。 |
ま〜〜、シンプルな問題
先週、ハワイアンスパリゾート（福島県いわき市）で一足お先に夏気分を味わったコマ大チーム。今回はもっと豪華に…なぜか野球場に連れてこられた。とりあえずシンプルに３桁の数字を書き並べることにした。野球場のスタンドに張られた数字の書かれた紙…数字を書き並べたからといって、答えが出るわけではなかった。何か閃かないかといわき市を歩いていると登場したのはジャンボメニュー。シューマイに始まりハンバーグ、メンチカツなど、とにかく数人分もあるメニューが次々と現れた。閃くためには食べなければいけないと食べ続けるコマ大チーム…しかし、何も閃かなかったため、今回訪れたジャンボな物の数を答えとすることにした…って、何だったんだ今回の検証は？
今回、私は閃いた。
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３桁の数字の和が９の倍数であれば、その数自体が９の倍数である。
例：７＋３＋８＝１８＝９×２ であることから ７３８は９の倍数。 ３桁の数字の和は数字を並べ替えても変わらないため、並べ替えてできる整数も ９の倍数になる。よってｎが９の倍数である３桁の数字のときｇ＝９となる。 |
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２つの数の最大公約数は「２つの数の差」の約数でもある。 例：１０８と１３２の最大公約数は１２（１０８＝１２×９、１３２＝１２×１１） この２つの数の差は１３２−１０８＝２４。１２は２４の約数でもある。 |
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３桁の数字が全部偶数であれば、数字を並べ替えても３桁の数字は偶数、
つまり２の倍数である。 ということは、３つとも偶数で合計が９の倍数になる３つの数「４，６，８」 （合計１８）について、並べ替えてできる３桁の数は２の倍数であり、９の倍数である。つまり２×９＝１８の倍数である。 |
| コマ大チーム | ９ | 訪れた「ジャンボ」なものの数 |
| マス・ポヌペア | １８ | ６つの数の和の素因数分解をして 考えた。 |
| 東大生チーム | １８ | 偶数からなる３桁の数から考えた。 |
正解…１８、東大生 マス・ポヌペア正解！
ではどのようにして「１８」が最大であることが分かるのでしょうか？
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使われる３個の数字を a, b, c (a > b > c) とすると
(100*a + 10*b + c) - (100*a + 10*c + b) = 9*(b - c) b-c, a-b が互いに素の場合、互除法を使うと最大公約数は高々９である ことが分かる。そこで b-c, a-b が互いに素でない場合を考える。 | ||||||||||||||||
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a-b = b-c のとき、この差を t とすると a = 2*t+c, b = t+c となる。
最大公約数が９の倍数であるとき、 a + b + c = 3*(t + c) : ９の倍数 ⇒ t + c : ３の倍数 が成り立つ。また、 a = 2*t+c ≦ 9 ⇒ c ≦ 9 - 2*t a, b, c が一桁の整数であることから 2 ≦ t ≦ 4, 1 ≦ c ≦ 7. 以上の条件を満たす c, t の組み合わせは以下の通り
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b-c, a-b が互いに素でない組み合わせとして、 (b-c, a-b) = (2, 4), (4, 2), (2, 6), (6, 2) が考えられるが、いずれも最大公約数が１８を超える整数 n を作ることが出来ない。 |
掲載する画像を作らなくて良かったこと
作るの結構大変ですよ…コマ大の問題はできれば整数問題を多めにお願いします。数学とクイズでくつろいで＜数学の部屋＜「コマ大数学科」に挑む＜「コマ大数学科」に挑む・１０年６月
「トリコロール(6/9)」
オープニングではマス北野が古い型のパソコンを持っていた、という話があった。コマ大チームも驚いた様子からするとおそらくブラウン管のモニターのパソコンだったのでしょうか？マス北野が話していた通り、メールだけで使うのならば少々古くてもいいんじゃないですか？
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問題：ピンク、緑、赤の三色の島がちょうど３つずつある。 これらの島に以下の条件を満たすように橋をかけるとき、かけ方は何通りあるか。
１．どの２つの島も１本の橋で結ばれているかいないかで、橋の両端は異なる島である。 （橋が１本もかけられていない状態も１通りと数えます） |
２週にわたって夏気分を満喫しているコマ大チーム。今回もハワイアンスパリゾートで検証を行った。ハワイアンスパリゾートといえば映画で話題になったフラダンスショー。これを見なければ帰れないと待っているコマ大チーム…と突然現れた腰ミノオヤジこと（？）吉田プロデューサー。ショーをのんびり見ている暇はないとたしなめられて、コマ大チームは検証を始めた。
３人組のフラダンスチーム２組と同じく３人組のファイアーダンスチーム１組を島に、手と手をつないで橋に見立てて何通りのつなぎ方があるかを探した。セクシーなフラダンスチームにデレデレのダンカン部長。少しでも早く終わらせて楽しみたいと焦りながら答えを出すことができた。
え？答え出たの？？
実は私は検証を見ているときに答えを出したんです。しかし、この答えが正解ならば、とても今回ののんびりした検証では終わらないはず、つまり、かなりの数の橋のかけ方があるのです。今回も間違えた模様…いや、そんなことはない…さすがに数学オリンピックの問題だけあって、マス・ポヌペアも東大生チームもやや苦戦気味。まず問題文の２つの条件を理解することに苦労している様子。今回は早々と竹内先生から「２色の島について考える」というヒントが出された。このヒントで一足先に答えを出したのはマス・ポヌペア。今回マスは黙々と計算したポヌさんの答えを出すことにした。一方の東大生は未だ答えを見出せない模様。時間内に答えは出せたのか？
各組の解答の前に私の解答をお見せします。私の計算結果は「110,592 通り」この数は「48 の３乗 (48 × 48 × 48)」ということです。 なぜこの計算をしたかというのは後ほどにして各組の解答です。
| コマ大チーム | ３４ | 検証の結果 |
| マス・ポヌペア | ４６ | 橋が０本、１本…と順にかけ方を 数えた。 |
| 東大生チーム | ２２７４ | ２色の場合から３色を考えたが 時間切れ |
正解… 39,304 通り、全員不正解！
解答とは桁違いの正解に全員が驚いた。さてなぜこのような値がでてきたのでしょうか？まず問題の条件をそれぞれ図で表すと次のようになる。
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ピンクの３つの島、緑の３つの島で橋を架けることを考える。条件２からピンクの島は他のピンクの島に橋をかけることができない。 またピンクの島から緑の２つの島に橋を架けると条件２の後半の条件に反する。 よってピンクの島から緑の島に橋を架けるとき、一つの島だけにしか架けることができない。（このことは緑の島からピンクの島に橋を架けるときも同様である） |
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上のことからピンクの島と緑の島の間にはそれぞれ１本ずつ、計３本までしか橋を架けることができない。３本橋を架ける方法は３！＝６通りある。 それぞれの橋に対して、橋を架けるか架けないかで２通りの選択がある。以上より３本橋を架けた状態から２×２×２＝８通りの橋の架け方を作ることができる。
これを６通りの３本の橋の架け方それぞれに対して考えると６×８＝４８通りの橋の架け方を作ることができる。 |
緑と赤、赤とピンクの間でも同じく４８通りずつの橋の架け方を作ることができる。これら３つの島の間の橋については上の条件を満たせば、条件に反することはないため、求める橋の架け方は48×48×48＝110,592 通りである。 |
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ピンクの島と緑の島の間に架ける橋の本数で場合分けをする。 橋が０本のときは１通りの架け方しかない。 橋が１本のときは各色の島から１つの島を選んで橋を架けるため、３×３＝９通りの架け方がある。 橋が２本のときは、各色の島から２つの島を選ぶ選び方は３×３＝９通り。その後２つの島に１本ずつ橋を架ける架け方が２通りあるため全部で９×２＝１８通りある。 橋が３本のときは上の解説から６通りある。
以上より２色の島の間に橋を架ける架け方は１＋９＋１８＋６＝３４通りある。 以降の計算は上の計算と同じであるため、正解は 34×34×34＝39304 通りとなる。 |
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「未来の東大生に挑戦(6/16)」
今回の問題は「筑駒」の略称で知られる「筑波大学付属駒場高等学校」の入試問題。 高校の入試問題だから解くのは中学生。さほど難しい数学の知識は要らないと思うが、東大生を多く輩出している高校なだけに、意外と手強いかも…何はともあれ問題です。
問題：１辺の長さが１２ｃｍの立方体の容器に１１ｃｍの深さまで水が入っています。点Ｇを通り、４点Ａ，Ｅ，Ｇ，Ｃを含む平面に垂直な直線をＬとし、Ｌを軸として回転します（つまり図の矢印の方向に回転させる） 点Ｅが水面上に来るとき水面の面積を求めなさい。 ただし、どのように回転させても水が容器からこぼれ出ないように密閉されているものとします。 |
ややこしい…
しかし、計算の方法は頭の中で出来上がっていた。さっそく計算を始める私。今回のコマ大チームの検証。「筑駒」のことは「筑駒」に聞け、ということで筑駒 に伺うことにした。ここでコマ大チームを率いたのは先日漢字検定準１級をとった 「漢字番長」バンビーノ小林。威勢良く教室に向かったもののまったく無視。気を取り直して筑駒の生徒と話をすることに。
今回は特別に東大生チームから小橋さんが来てくれた。東大受験の裏技（？）を伝授された築駒の生徒達。そこで今回の問題を解いてもらったところ、あっさりと解かれてしまった。そんなことではコマ大ではない！と喝を入れたダンカン部長。Ｄｒ．コバこと歯科医の小林先生を呼び、先生が歯形を取るときに使う「印象剤」を使って実際に問題を検証してみた。待つこと数分。固まった印象剤を持ってスタジオに戻ってきた。
今回はここしばらくの展開とは逆で、計算が進む２組である。私もある程度の計算方法は分かっていた。
 緑の部分が求める面積。 |
コマ大の検証が長かった理由が良く分かりました。
各組の答えは以下の通り。
| コマ大チーム | 71.5 平方ｃｍ | 計測の結果 |
| マス・ポヌペア | 12√146 | 水面の形が菱形になると 考え計算 |
| 東大生チーム | 36√5 | 水面の形が三角形になると 考え計算 |
正解…36√5、東大生チーム正解
さっそく、解説です。
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実はこの立方体を更に回転させるともう一度点Ｅが水面上に来る。このときの水面の面積を求めると…
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数学とクイズでくつろいで＜数学の部屋＜「コマ大数学科」に挑む＜「コマ大数学科」に挑む・１０年６月
「競売(6/23)」
この２週間、計算違いで答えを出せない私。とにかく落ち着いて計算をしなければいけない。今回の東大生チームは春のスペシャルに出演した加納さんと木村さんのペア。「春のスペシャル」って、福岡では……もう、いいか。では問題です。
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問題： ある駅前の土地が競売によって売り出されることになった。 競売の方法は以下の通り… |
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問題の続き： 競売に参加するＡさんが利益の期待値を最大にするためには、いくらの買値をつければ良いのでしょうか。 入札の方法は以下の通り
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今回のコマ大チームはとある街中に登場…と、そこに強面の男性が登場。この男性「藤山勇司さん」は競売コンサルタントで著書も数多く出されている。問題の前に土地競売について聞いてみた。訪ねた家も競売で買ったもの。その落札額一万円！！その後リフォームをして自宅にした、とのこと。これまで数多くの家を落札したが、この人でも恐れるほどの出来事も数多くあったとのこと。それでも競売を続ける藤山さんの話に引き込まれるコマ大チームであった…
では本題、ということでコンサルタントの人に問題を見せたところ早々と計算をして答えを出してしまった。今回は他力本願ながら自信満々のコマ大チームだった。
私もフツーに計算をしていったところ答えが出てしまった。まず、計算に必要な確率を考えると
| １億円で入札のとき | |||
| Ｂの入札額 | 確率 | 利益 | 期待値 |
| １億円 | 0.1×0.5 | ４億円 | 0.2 億円 |
| 期待値の合計：0.2 億円 | |||
| ２億円で入札のとき | |||
| Ｂの入札額 | 確率 | 利益 | 期待値 |
| １億円 | 0.1 | ３億円 | 0.3 億円 |
| ２億円 | 0.1×0.5 | ３億円 | 0.15 億円 |
| 期待値の合計：0.45 億円 | |||
| ３億円で入札のとき | |||
| Ｂの入札額 | 確率 | 利益 | 期待値 |
| １〜２億円 | 0.2 | ２億円 | 0.4 億円 |
| ３億円 | 0.1×0.5 | ２億円 | 0.1 億円 |
| 期待値の合計：0.5 億円 | |||
| ４億円で入札のとき | |||
| Ｂの入札額 | 確率 | 利益 | 期待値 |
| １〜３億円 | 0.3 | １億円 | 0.3 億円 |
| ４億円 | 0.1×0.5 | １億円 | 0.05 億円 |
| 期待値の合計：0.35 億円 | |||
簡単すぎないか？？
フツーに計算をして答えが出たが、何かあるのがコマ大である。ただ、今回はマス・ポヌペアも東大生チームも早々と答えを出してしまった様子で計算時間もすぐに終わってしまった…何かありそう…
| コマ大チーム | ３億円 | コンサルタント藤山さんの解答 |
| マス・ポヌペア | ３億円 | 入札額ごとに期待値を計算した |
| 東大生チーム | ３億円 | 入札額ごとに期待値を計算した |
正解…３億円！全員正解！
ものの見事に全員（私も）正解だった。解説も私が上で計算したとおりである。今回の問題は３月の東京大学、後期の入試問題。実際は利益が２億〜１０億の場合で問題を解くことになっている。興味がありましたら入試問題を探して考えてみてください。今回は全員正解だったが、コマ大チームは他力本願の正解。マスは同額の場合を考えていなかった。ということでホントに僅差で東大生チームにコマ大フィールズ賞が渡った。今回は億単位で計算をしたが、例えばＡさんが億単位でなければ（Ｂさんは億単位）期待値が最大になるのはいくらか？と考えていた。
| 例えばＡさんが「３億１円」で入札したとすると…
Ｂの入札額が１〜３億円のときＡさんが落札。この確率は 0.3 0.3 ×（２億−１）＝ (0.6 億 − 0.3) 円
つまり、ほぼ６千万円になるため、「３億１円」が最も得する |
数学とクイズでくつろいで＜数学の部屋＜「コマ大数学科」に挑む＜「コマ大数学科」に挑む・１０年６月
