問題：南北に引いてある白線上の点Ａから西へ５ｍの地点でコインを投げ、表が出たら東へ１ｍ、裏が出たら北へ１ｍ進む。
白線に達するまで、これを続けたとき点Ａから２ｍ北の地点に達する確率を求めよ。
「コマ大数学科」に挑む・１０年７月
最終更新日２０１０年８月１０日
フジテレビで深夜に放送されている「コマ大数学科」の問題に解く様子をご紹介します。数学をやってきたので簡単に解ける…と思ったものの…その奮闘振りをお楽しみに。なお、福岡での放送は二週間遅い模様です。そこら辺はご勘弁を。| 「東北東に進路をとれ(7/7)」 |
| 「補助線(7/14)」 |
| 「碁石拾い(7/21)」 |
ご意見がありましたらtfujisaki2006@yahoo.co.jpまでお願いします。
「東北東に進路をとれ(7/7)」
|
問題：南北に引いてある白線上の点Ａから西へ５ｍの地点でコインを投げ、 表が出たら東へ１ｍ、裏が出たら北へ１ｍ進む。 白線に達するまで、これを続けたとき点Ａから２ｍ北の地点に達する確率を求めよ。 |
この問題ね、知ってるんですよ。
以前、古本屋で「京大の文系数学２３ヵ年」という赤本シリーズの一冊を買った。この中に今回の問題が載っていた。実際に入試に使われた問題はちょっと違うが今回は何が何でも解かなければいけない。
２週連続で他力本願で正解をいただいた（？）コマ大チーム。今回はシンプルにコインを投げて確率を出すことにした。コインを投げて表が出たら東へ１ｍ、裏が出たら北へ１ｍ進む。しかしそう簡単にゴールに着けないようで、北に行き過ぎることもあれば、白線の途中にゴールすることもある。
そんなときに登場するのがすっかりお馴染みになった「罰ゲーム」今回はヒッチコックの映画にちなんだ罰ゲーム。「サイコ」のシャワーシーンを真似した（？）熱湯罰ゲームや、「鳥」にちなんだ鳥の羽くすぐり罰ゲーム、さらには「間違えられた男」Ｄｒ．コバも（なぜか）登場。そんな中でも各メンバーがゴールにたどり着くことができた。
確率の問題ならば何回も挑戦してゴールする回数を数えると正解に近くなるが、ここしばらくの検証では挑戦の回数が少ない感じがする。これも３本撮りの影響なのでしょうか…
私はどうにか答えを出すことができました。
| コマ大チーム | ４／７９ | 検証の結果 ７９回中４回成功ということ |
| マス・ポヌペア | １／１６ | 途中の地点までの行き方 を数えて計算 |
| 東大生チーム | １／８ | ゴールまでの行き方から 条件に合わないものを除外 |
あれ？私の答えがない…
相変わらずの凡ミスが出たようです。どこを間違えたのだろうか？正解…１５／１２８、全員不正解！
私は正解！！
大人げもなくガッツポーズをとってしまった私。解説は上で書いた通りです。ポヌさんは行き方が何通りあるかで数えていないところがあった。東大生チームは除外する道を１通り忘れていた。どちらにしろ「凡ミス」です。最初に書いたとおりに今回の問題は京都大学の入試問題を参考にしたものである。実際の問題は以下の通りである。
|
問題：同じくＡ地点から西に５ｍの地点から、白線に達するまで同じ条件でコインを投げる。
このときＡから ｎ メートル北の地点に達する確率 P(n) を求めよ。 |
正解が出なかった、ということで今回もコマ大フィールズ賞はなし、となってしまった。皆さんくれぐれも
凡ミスには気をつけましょう。
数学とクイズでくつろいで＜数学の部屋＜「コマ大数学科」に挑む＜「コマ大数学科」に挑む・１０年７月
「補助線(7/14)」
テーマは「補助線」だから間違いなく図形の問題のはずです。正直、苦手です。
三角形ＡＢＣの内部に点Ｐがあります。
ＡＰ＝√３ ＢＰ＝５ ＣＰ＝２ であるとき、三角形ＡＢＣの面積を求めなさい。 |
コマ大チームはここしばらく人任せにしていたが、今回は「神頼み」易の人に検証の先行きや戸部アナの結婚など余計な運勢も占ったところで易者が使う「筮竹（５０本からなる竹の束）」を使って答えを占うことに？？
しかし答えが出るわけではない。結局、問題の図に筮竹の竹を張り合わせて面積を計算することになった。まあ、一応数学（算数）を使って答えを求める予定なのでいいんだけど…
問題の条件「ＡＢ：ＡＣ＝２：１ 角ＢＡＣ＝６０度」から三角形ＡＢＣが正三角形の半分になることが分かる。あとは正三角形を使ってうんぬん…と思うがどうしたら良いのか見当が付かない。
こうすると正三角形ができる…で？？ |
計算を着々と進めるのは東大生チーム。しかし答えにたどり着く補助線を見つけることができない。その間になにやら服を脱ぎ始めたのはコマ大チーム。今回は面積を計算するとき、定規で長さを測らずメンバーの体の部位のサイズで測る、という作戦。挙句の果てにはタカさんの頭の周りのサイズを測ることとなった。
その間になにやら図を描いていたのはマス北野。計算方法を思いついた模様で、あとはポヌさんに任せて意気揚々であった。余裕のマスの物まね「松本清張」は以前もやっていた。解答は以下の通り。
| コマ大チーム | 7.65 | 足のサイズなどを使って 測った結果 |
| マス・ポヌペア | 7/2 √3 + 3 | 三角形を広げるような 補助線を引いて計算 |
| 東大生チーム | 8 √3 | 試行錯誤の結果 目測で計算 |
正解…7/2 √3 + 3、マス・ポヌペア正解
マスの閃きが正解だった。解説は以下の通り。
|
問題の条件から三角形ＡＢＣは角Ａ，角Ｂ，角Ｃがそれぞれ６０度、３０度、９０度の直角三角形であることが分かる。 図の３つに分かれた三角形を各辺に対称になるようにＡＢＣの外側に新たな三角形を作る。このとき作られた多角形は角Ａ，角Ｂ，角Ｃがそれぞれ元の角度の２倍、つまり、１２０度、６０度、１８０度となる。この多角形を下の図のように３つの部分に分割する。
角Ａを含む部分は２辺が√３ の二等辺三角形。更に角Ａ＝１２０度であるため、この部分の面積は一辺が√３の正三角形の面積と等しく残り一辺の長さは３になる。 角Ｂを含む部分は２辺が５の二等辺三角形。更に角Ｂ＝６０度であるためこの部分は正三角形になる。よって残り一辺の長さも５である。 角Ｃを含む部分は角Ｃ＝１８０度であることから、点Ｃは辺の途中の点になるため三角形である。更に三辺の長さが上の計算から３，４，５であるため直角三角形である。 問題の三角形の面積は、上の図形の面積の半分であることから
|
数学とクイズでくつろいで＜数学の部屋＜「コマ大数学科」に挑む＜「コマ大数学科」に挑む・１０年７月
「碁石拾い(7/21)」
江戸時代、日本では数学に関する本が売られていた。どちらかというと「パズル」に近いかな？そんな本で取り上げられていたのは碁石を使った「碁石拾い」という問題。ところで碁石の白石は何からできている？という質問に東大生は「大理石のようなもの」と解答。確かに「石」って言ってますから石って思いますよね。実は、白石はハマグリの貝殻から作られている。意外と貴重な碁石。そんな碁石を使った今回の問題はこちら。
問題：以下の条件で盤上のすべての石を拾うには最低で何手必要でしょう。
|
ひとしきり碁盤と碁石についての話を聞いたところで、検証はごくごく普通の碁盤と碁石で検証。久しぶりにシンプルに最小の手を探すこととなった。初めの挑戦で少ない手数が出たものの、それ以降更に少ない手数を見つけることができない。なぜか座禅を組んで…でもすぐに眠りに入る。そんなこんなしているうちにお宮の松が更に少ない手数を見つけることができた模様。今回は「お宮の松チャンス」が来るのか？
今回の問題、問題文の中では「１手」の説明をしたが、テレビでは説明がなかった。そのため「１手」を理解するために時間がかかった。しかし大体の意味はつかめていたので適当に線を引いているうちに答えが出てしまった。
左上の石から番号順に碁石を拾っていくと１６手で終わる。
|
今回はテレビの２組は意外に苦戦している様子。検証用に碁盤と碁石を模したものが置かれていて、それを使って最小手数を探していた。先週は見事な閃きを見せたマス北野も悩んでいる。そしてとにかく理論で挑む東大生、答えは出たのか？
今回は解答とあわせて実際に碁石を拾う順序を見せることとなった。しかし、ここから思わぬ展開となった…
|
正解…１６手、全員不正解！！
マスの解答は書き直したため無効である…当たり前でしょ。コマ大チームは検証では最初の時点ですでに「１６手」を出していた。これより少ない手を探しているうちにお宮の松が数え間違いの「１５手」を生み出してしまった。「お宮の松チャンス」不発でした。ではなぜ「１６手」が最小手数なのでしょうか？
図の周囲にある石（スタートの石はのぞく）について、１手でこれら２つの石を同時に取ることができないため、最低でも周囲の石の数と同じ１３手は必要である。また図のように周囲の石を４色に色分けしたとき、異なる色の石を取るためには一度は方向を変えなければいけない。よって異なる色の石を取るために別に３手は必要である。 以上からすべての石を取るためには最低でも１３＋３＝１６手は必要である。 |
|
このぐらい、解いてくださいよ。
落ち着いて考えれば答えは出る…はず。数学とクイズでくつろいで＜数学の部屋＜「コマ大数学科」に挑む＜「コマ大数学科」に挑む・１０年７月
