半径Ｒの円Ｏに弦ＡＤを取り、円Ｏの円周上に点Ａ，Ｂ，Ｎ，Ｃ，Ｄを取る。ＮはＡＤの中点。弦ＡＤの中点Ｍに対してＭＢ，ＭＣによってこの円弧を３等分し、それぞれの部分に半径ｒの円を作る。 　ＡＤ＝１０、ＭＮ＝４となるときのｒを求めなさい。

　コマ大チームはフジテレビのそばにある神社で正解がでることを祈願。さっそくその「しめ縄」を使って検証を行った。地面に問題の大きい円と直線を引き、３つに分かれた各部分に内接するような円を作る半径を「しめ縄」で計る。 今日のオープニングはお宮の松のマンションの話。マンションのローンが終わるときには７１歳になる、ということだが…特に活躍もなく、答えを出すことができた模様である。

　今回の問題は竹内先生も話したように難問である。私もあれこれ考えたが元の大きい円の半径を求めたところで手が止まった。

ここまでは考えた… …どう考えても違うよな

コマ大チーム	1.35	検証の結果
東大生チーム	1.5 くらい？	相似などを使って計算したが 答えは出なかった。
マス・ポヌペア	1.?	正三角形を使って計算したが 最後は目分量

正解…10/7 (約 1.429)　全員不正解！

　さて、どのようにして答えを出すのでしょうか。

まず、大きい円の半径を求める。

２つの直角三角形の相似を証明する。

三角形 O1PM の辺の長さを求める。

三角形 O2QM の辺の長さを求める。

辺の比から r を求める。

長い解説だった…

あなたは長方形 ABCD の形をした部屋にいます。その部屋の壁にはコンセントがあります。 コンセントがある地点を E とします。 AB = 10 m, AB = 7 m, AE = 3 m, and DE = 4m であることが分かっています。 　部屋には小さな電化製品が置かれています（小さいため電化製品は点とみなしてよい） 　この時 5m の延長コードを使ってコンセントから電化製品までつなぐことができる 確率はいくつになるでしょう？

問題：図のように互いに接する半径１ｍの２つの円ＡとＢがある。 円Ａ上に点Ｐ、円Ｂ上に点Ｑがあり、点Ｑに関する点Ｐの対称点をＲとする。 点Ｐと点Ｑがそれぞれ自由に円周上を動くとき点Ｒの通過する領域の面積を求めなさい。

　それぞれの親子が竹馬の練習をする。そしてそれを見守る母親。そんな小芝居を見せながら１時間後、子供たちはどうにか竹馬に乗れるようになり、やっとで検証開始。しかし竹馬に乗ってある程度まっすぐ進めるが、円に沿って回ることは難しかった。それぞれが落ちた地点をＰ，Ｑとして点Ｒに印をつけていく。全員が疲れ果てたときにアタルチャンス！？上から写した画面を見て面積を求める方法を見つけた。ここからはお父さんたちコマ大チームの仕事。どうにか答えを出した。まさに「全員野球」ならぬ「全員検証」であった。

　ここしばらく図形問題が続いているが先週は東大生チーム、先々週はマス・ポヌペアがコマ大フィールズ賞をとっている。マスは相変わらず作図をしながら領域を探している。一方東大生チームはひたすら計算。√の中に長い計算式が入っている。２組ともある程度の領域は分かっているようである。
　さてさて、私は東大生チームと同じように計算式を使って答えを出そうとした。しかしいくつか点を打っていくと半径１の円が連なっていることに気が付いた。そこでひらめきました。考えた図と計算式を使って答えを導くことができた。今回は自信あり！

コマ大チーム	21.616 平方メートル	領域内の三角形の面積 から計算。
マス・ポヌペア	35π/4	半径３の円から半径１／２の円を とったものが領域と考えた
東大生チーム	9 π	半径３の円が領域と考えた。

正解…8 π、全員不正解、やったー！！私は正解！！

上の図のように x 軸, y 軸をとり、座標を決める。このとき円Ａは中心が (-4, 0), 円Ｂは中心が (-2, 0) で 半径が１であるため、円を表す式は Ａ：(x+4)^2 + y^2 = 1, Ｂ：(x+2)^2 + y^2 = 1 となる。これらの円周上の点Ｐ，Ｑは Ｐ：(-4 + cos p, sin p), Ｑ：(-2 + cos q, sin q) と表すことができる。点Ｒは点Ｑに関する点Ｐの対称点であるため、点Ｑは線分ＰＲの中点になる。つまり以下の式が成り立つ。 Ｑの x 座標＝（Ｐの x 座標＋Ｒの x 座標）／２　 　　⇒⇒　Ｒの x 座標＝２×（Ｑの x 座標）−Ｐの x 座標 したがって点Ｒの x 座標は 2 ( -2 + cos q ) - ( -4 + cos p ) = 2 cos q - cos p 同じく点Ｒの y 座標は 2 ( -2 + sin q ) - ( -4 + sin p ) = 2 sin q - sin p 点Ｒの座標は (2 cos q - cos p, 2 sin q - sin p) となる。q を固定して p を動かすと点Ｒは中心が (2 cos q, 2 sin q ) で半径が１の円を描く。この円の中心の座標は中心が原点で半径が２の円の円周上を 動くため、点Ｒは以下の図の領域を動く。 　この領域は半径３の円のうち中央の半径１の円の範囲を取り除いたものになるため、領域の面積は 3^2 π-1^2 π = 8 πである。

計算は簡単にすることが大事です

　今回も全員不正解であった。コマ大フィールズ賞はマス北野が近い解説をしたが中村先生の「子供に甘いので」の一言で コマ大チームが大喜び。久しぶりのコマ大チームのコマ大フィールズ賞であった。

問題： 足しても掛けても同じ数になる。５つの正の整数とその数を答えなさい。 ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ＋ｅ＝ａ×ｂ×ｃ×ｄ×ｅ

ん〜〜シンプル〜〜〜

　確定申告で堂々と「たけし軍団」と書く（？）コマ大チーム。今回は公園で検証を行う。シーソーの模型を使い、シーソーの両端に５個の数字を書き入れる。両方の和と積が等しければ釣り合うが等しくなければ片方に傾く。傾く先にはお宮の松＆アル北郷がいて、スペシャルサンクス（要は罰ゲーム）が落ちてくる。まずは熱湯をかけられたお宮の松。その次には熱湯入りのポットが「ゴン」と落ちてきた。その後４人で入れ替わりシーソーの餌食になる。粉やイカスミ、果てはカメラマンの滴る汗を浴びせられる。そんなこんなで２時間、どうにか答えを見つけることができた。まだ猛暑が続く９月の検証でした。

　私はイカスミにまみれるダンカン部長を見ながら問題を考えていた。答えが一通りかわからないまま、とりあえず「ａ＝ｂ＝ｃ＝１」のときから考えようとした。テレビではマス北野が「同じ数字が入ってもいいのですか？」という質問をした。中村先生の「はい」という解答で自信満々のマス北野。質問の時点で答えが出ていた模様。一方東大生チームも答えを出していた。私もやっとで答えが出た。

ａ＝ｂ＝ｃ＝１であるとき １＋１＋１＋ｄ＋ｅ＝ｄ＋ｅ＋３、１×１×１×ｄ×ｅ＝ｄｅ この２つの式の値が等しいとき、 ｄｅ＝ｄ＋ｅ＋３　⇒⇒　ｄｅ−ｄ−ｅ＝３ 　　　　　　　　　　　　　　⇒⇒　（ｄ−１）（ｅ−１）＝４ ｄ−１、ｅ−１はともに整数であるため、積が４になる組合せは以下の通り。 ｄ−１＝１、ｅ−１＝４　⇒⇒　ｄ＝２、ｅ＝５ ｄ−１＝２、ｅ−１＝２　⇒⇒　ｄ＝３、ｅ＝３ ｄ−１＝４、ｅ−１＝１　⇒⇒　ｄ＝５、ｅ＝２ １番目と３番目の組み合わせはｄとｅを入れ替えると同じものになるため、 この計算では １＋１＋１＋２＋５＝１×１×１×２×５＝１０ １＋１＋１＋３＋３＝１×１×１×３×３＝９ の２組の答えが出てくる。

コマ大チーム	１，１，１，２，５	検証の結果
マス・ポヌペア	１，１，１，２，５　和、積：１０ １，１，１，３，３　和、積：９ １，１，２，２，２　和、積：８	小さい組合せから順番に計算
東大生チーム	１，１，１，２，５　和、積：１０ １，１，１，３，３　和、積：９ １，１，２，２，２　和、積：８	２，３個数字を入れて 残りを方程式で計算

５つの正の整数ａ，ｂ，ｃ，ｄ，ｅは小さい順に並んでいる（ａ≦ｂ≦ｃ≦ｄ≦ｅ）とします。このとき ａ×ｂ×ｃ×ｄ×ｅ＝ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ＋ｅ≦５ｅ となるため、両端の式をｅで割ると ａ×ｂ×ｃ×ｄ≦５ という条件が出てくる。 　ｂ≧２であるときａ×ｂ×ｃ×ｄ≧１×２×２×２＝８≧５となるため、上の条件を満たさない。よって ａ＝ｂ＝１でなければならない。 　同じくｃ≧３であるときａ×ｂ×ｃ×ｄ≧１×１×３×３＝９≧５となり、上の条件を満たさないため、 ｃ≦２でなければならない。 （ａ，ｂ，ｃ）＝（１，１，２）のとき ａ×ｂ×ｃ×ｄ＝２ｄ≦５　⇒⇒　ｄ≦2.5 ｄ≧ｃ＝２よりｄ＝２と決まる。これより ａ×ｂ×ｃ×ｄ×ｅ＝４ｅ ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ＋ｅ＝ｅ＋６ 上の２式が等しい値を持つときｅ＝２となる。これで条件を満たす１つの組１，１，２，２，２が求まる。 （ａ，ｂ，ｃ）＝（１，１，１）のときは上の私が行った計算と同じです。つまり （ｄ−１）（ｅー１）＝４ から（ｄ，ｅ）＝（２，５）、（３，３）となり、条件を満たす２つの組１，１，１，２，５と１，１，１，３，３ が求まる。

　今回は久しぶりのひらめきが冴えたマスだったが、わずかに早く答えを出し理論で攻めた東大生チームにコマ大フィールズ賞が渡った。放送はちょっとお休みがあって、次回は東大生総出演で何やら特別企画のようである。

放送、あるんだろうか？