問題： 　５桁の数字が表示される電光掲示板があり、それぞれの桁には１〜７の どれかの数字が同じ確率で表示されます。 　表示される５桁の数字が４で割り切れる確率を求めなさい。

　東大生チーム、マス・ポヌペア共に計算方法が分かっていたようで早々と答えを書いてしまった。時間まで木村さんが撮った心霊？写真の話で盛り上がった。

コマ大チーム	１１／５０	１００問の質問で ２２問が４で割り切れた。
マス・ポヌペア	１１／４９	下２桁が４で割り切れるか 調べた。
東大生チーム	１１／４９	下２桁が４で割り切れるか 調べた。

正解…１１／４９　マス・ポヌペア、東大生チーム正解！

１００＝４×２５であるため、１００の倍数は常に４の倍数。 そのため３桁以上の整数について、下２桁の整数が４の倍数であればその整数は ４の倍数である。 例： ２８＝４×７は４の倍数であるため、１２８、２２８、３２８、４２８、…… はすべて４の倍数。 このことから１〜７で作られる２桁の４の倍数の個数を求めれば５桁の４の倍数も 求めることができる。１〜７で作られる２桁の４の倍数は １２、１６、２４、３２、３６、４４、 ５２、５６、６４、７２、７６ の１１個。５桁の整数の上３桁は自由に数字を入れることができるため、 ５桁の４の倍数の個数は７×７×７×１１個。１〜７で作られる５桁の整数の 個数は７×７×７×７×７個であるため、５桁の４で割り切れる確率は 　７×７×７×１１／７×７×７×７×７ ＝１１／７×７ ＝１１／４９

問題： 　１辺の長さが１の正三角形が敷き詰められた平面がある。頂点Ａから出発して 三角形の辺上を１秒間に１動くとすると１０以下で到達できる頂点の総数は 頂点Ａを含めていくつあるか？

やっぱり

コマ大チーム	３３２個	花飾りを数えた結果
マス・ポヌペア	３３０個	点Ａ以外の点を数えて １個を加えた
東大生チーム	３３１個	６個の正三角形状の点の数 を数えて計算した。

正解…３３１個　東大生チーム正解！

東大生チームの解答： 　例えば３秒以内に到達できる点は右の図の点である。 　これを図のようにグループに分ける。そうすると点Ａ以外は ６個の同じ大きさの正三角形の形に分けられる。この正三角形は 一辺に３個の点があるため、点Ａを含めた点の総数は 6 × (3 × 4 / 2) + 1 = 37 個 　この計算を１０秒以内について同様に考えると点の総数は 6 × (10 × 11 / 2) + 1 = 331 個 となる。

別の解き方： 　同じ図を右のように６つの正三角形に分ける。三角形の 大きさは以下の通り 一辺に２個の点…１個、 一辺に３個の点…４個 一辺に４個の点…１個 以上から点の総数は (2 × 3 / 2) + 4 × (3 × 4 / 2) + (4 × 5 / 2) = 37 個 　この計算を１０秒以内について同様に考えると点の総数は (9 × 10 / 2) + 4 × (10 × 11 / 2) 　　　　　　　　　　　+ (11 × 12 / 2) = 331 個 となる。