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「コマ大数学科」に挑む・１１年６月

最終更新日２０１１年８月１０日

フジテレビで深夜に放送されている「コマ大数学科」の問題に解く様子をご紹介します。数学をやってきたので簡単に解ける…と思ったものの…その奮闘振りをお楽しみに。なお、福岡での放送は二週間遅い模様です。そこら辺はご勘弁を。

「展開図 Part 2 (6/1)」
「反射 (6/8)」
「必勝法 Part 6 (6/22)」
「楕円 Part 2 (6/29)」

ご意見がありましたらtfujisaki2006@yahoo.co.jpまでお願いします。

「展開図 Part 2 (6/1)」

　今回はインターネットのサイトで出題された問題。

問題： 右の図はある立体の展開図です。

Ａ：正三角形 Ｂ：正方形
Ａ、Ｂの一辺の長さはともに等しい。

Ｃ：等脚台形 Ｄ：正三角形
ＣはＡを３個つなげた形、Ｄの辺の長さはＡの辺の長さの２倍。

Ｂの面積が７２平方センチのとき、この立体の体積を求めなさい。

　コマ大の検証はシンプルに立体を作っていく。アクリル板、厚紙、紙粘土、竹ひご＋ラップと４種類の材料で形を作っていき、中に水を入れていく。もちろん水が漏れ出たが、唯一アクリル板の立体が水漏れがなかった。というわけで、この立体の中に入った水の体積を解答にした。

　コマ大の検証で実際に作られる立体を見ることができたので、今回は早々と答えが出るかと思った。しかし、マスも東大生チームも展開図から立体を作り出した。そのあと立体を２つに切って…さてどうなったのでしょうか？

コマ大チーム1820 立方センチ検証の結果
マス・ポヌペア864 立方センチ２つに分けた一方が
正８面体の半分である。
東大生チーム一方は 1152 立方センチ
もう一方は…		２つに分けた一方が
正８面体の半分である。

　立体を２つに分け、一方が正８面体の半分になることは２組ともわかっていた。もう一方の立体の体積で苦戦した。東大生木村さんは２週連続の登場。ちょっと厳しかったかな？

正解… 1872 立方ｃｍ　全員不正解

　今回も私正解を出しました。２組が行ったように立体を２つに分けて、それぞれの体積を求める方法もありますが、私はちょっと「ひねって」体積を求めました。

　問題の展開図から作られる立体は図の左の立体である。この上の部分（灰色）を回転させると中央のような図になる。

　さらに三か所のＢに四角すい（緑）を付けると右の図のように正八面体が作られる。このことから、求める体積は大きな正八面体から、付けた四角すいの体積３個分を引いたものになる。

　まず、四角すいの体積から求める。四角すいの底面は正方形Ｂである。Ｂの面積は７２平方センチである。Ｂの面積は

（対角線の長さ）×（対角線の長さ）／２

で求めることができるため、対角線の長さは√(72×2) = 12センチ。このことから四角すいの高さが対角線の半分の長さ 6センチであることも分かる。以上から四角すいの体積は

正方形の面積×高さ／３＝７２×６／３＝１４４立方センチ

となる。

大きな正八面体の半分にあたる四角すいは、上で求めた四角すいと比較すると各辺の長さが２倍である。このため、正八面体の体積は上で求めた四角すいの２×２＾３＝１６倍である。

　求める立体は正八面体から四角すい３個分を除いた体積と等しいため、四角すいの１６−３＝１３倍になる。よって体積は１４４×１３＝１８７２立方センチ

今回のコマ大フィールズ賞は実測値の勝利！コマ大チームに渡った。

「反射(6/8)」

　学園祭シーズン、東大生・秒殺コンビは学園祭で骨密度や血圧を測っているそうです。

問題：
AB = 120 を直径とする半円があり、A からの光が半円の内部で2回反射し、 OB 上の点 P を通るものとします。
　光をいろいろな方向から出したとき、OP の最小値を求めなさい。

　学園祭で種々様々なことがあったコマ大チーム。今回はグラビアアイドルを呼んで、問題のように2枚の鏡の反射を使って水着姿を見よう、という久しぶりの深夜番組の展開。最小値を求めるか水着姿を見たいか、という葛藤と戦うことなく水着姿を見ることに専念したが、答えを出したことは出したみたい。

　秒殺コンビは今回も秒殺、とまでは行かなかったが着実に計算を進め答えを出した。マスも分度器を使いながら図を書き答えを出した。

コマ大チーム48.5検証の結果
マス・ポヌペア60 cos36°光が正五角形を
描くように進むと考えた。
東大生チーム60 cos36°光が正五角形を
描くように進むと考えた。

ちなみに、私もマスチーム、東大生チームと同じく光が正五角形を描くように進むと考えて計算をしたが、答えは出せなかった。

正解…48、全員不正解

最初この答えを見たときは「四捨五入して48」と思っていたが、そうではなく答えはちょうど48。 意外や意外の解説はこちら。

　番狂わせの展開でコマ大フィールズ賞は一番近かった？コマ大チームに決まった（60 cos36°≒48.59）確かにほかの2つの答えと比べたらコマ大チームの答えは正解に近いけどね。

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「必勝法 Part 6 (6/22)」

　どうにかテレビ慣れした？東大生杉山・瀬戸山ペア。そろそろコンビ名が欲しいところ…と話したところで今回の問題。

問題：
ＡくんとＢくんが図のア〜ケ９つのマスに１，３，４〜１０の数字を交互に一つずつ入れ ていく。

ルール
・先手はＡくん。
・Ａくんは上段と下段に入れた数字 （ア、イ、ウ、キ、ク、ケ）の合計を得点とする。
・Ｂくんは左列と右列に入れた数字（ア、エ、キ、ウ、カ、ケ）の合計を得点とする。
・２人のうち得点の多いほうが勝ちとする。

　このとき先手のＡくんは、どのマス目にどの数字を入れると良いでしょうか。

アイウ
エオカ
キクケ

　３連続コマ大フィールズ賞を獲得しているコマ大チーム。今回は数字の書かれたボールを９つの的に当てる形式で検証を行う。完全なおっさん集団のコマ大チーム。ボールを狙ったマスに当てるどころかボールを当てること自体で一苦労。そこで登場したのは「杏林大学野球部」、その一人が飯塚甲子園君、そうダンカン部長の息子である。見事に狙ったところにボールを当てていく。それを見ながら久々のアタルチャンス！正解は導けたのでしょうか？

　「必勝法」シリーズに断然強いのはマス北野。しばらく考えて答えを早々と書いた。東大生チームも負けじと答えを出した模様。

コマ大チームエまたはカに１を入れる検証の結果
アタルの結論
マス・ポヌペアエまたはカに１を入れる２が入る場合は
引き分けになることも解説
東大生チームエまたはカに１を入れる相手が最善手をとっても
勝てないことを解説

　今回の問題は算数オリンピックで出題された問題。私はこの問題知っていました。しかし入れる数字を「１〜９」と勘違いしていた。最初に「イまたはクに１０」と思いましたが、考えなおして「エまたはカに１」という結論を出しました。

正解…エまたはカに１　全員正解！

では早速解説を

Ａくんの点数とＢくんの点数の差を求めると

　（ア＋イ＋ウ＋キ＋ク＋ケ）−（ア＋エ＋キ＋ウ＋カ＋ケ）
＝（イ＋ク）−（エ＋カ）

つまり「イ＋ク」の和が「エ＋カ」の和より大きいときにＡくんの勝ちとなる。

　Ａくんが「エに１」を入れる
⇒Ｂくんは「エ＋カ」の値を最大にするために、「カに１０」を入れる。
⇒Ａくんは「イ＋ク」の値を大きくするために、「イに９」を入れる。

クに入る数字は３以上であるため

　（イ＋ク）−（エ＋カ）
＝（９＋ク）−（１＋１０）
≧１２−１１＝１

となるため、Ａくんの勝ちが決まる。

マスに入る数字に「２」があるときは「クに２」を入れると引き分けにすることができる。

Ａくんが他の数字の入れ方をした時を考える。

　Ａくんが「イ＋ク」を大きくするために「イに１０」を入れる
⇒Ｂくんは「イ＋ク」の値を最小にするために、「クに１」を入れる。
⇒Ａくんは「エ＋カ」の値を小さくするために、「エに３」を入れる。

⇒Ｂくんは「カに９」を入れる。
　（イ＋ク）−（エ＋カ）
＝（１０＋１）−（３＋９）
≧１１−１２＝−１

となるため、Ｂくんの勝ちが決まる。

見事な三つ巴の戦い（？）だったが、引き分けの解説がなされていた、ということでマス・ポヌペアにコマ大フィールズ賞が渡った。

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「楕円 Part 2 (6/29)」

　前回の「楕円」の問題をあっさり解かれてしまった、ということで中村先生のリベンジをかけて新たな楕円の問題。

問題：
長軸の長さ１０の楕円の２つの焦点を中心として半径２の円をかきます。
楕円上に点Ｐ，２つの円それぞれに点Ｑ，Ｒを取るとき、線分ＰＱ，ＰＲの 長さの和ＰＱ＋ＰＲの最大値を求めなさい。

　前回はコマ大フィール賞は取れなかったものの正解を導いたコマ大チーム。今回は明らかに前回と同じ場所と分かる広場で検証を行う。スタッフの知り合いというラグビー経験者が登場。楕円上の点から円上の点へトライを試みその距離を測る。何とも地道な検証である。
　中村先生の思いもよそに、マス・ポヌペアも東大生チームもあっさり解いてしまったみたい。

コマ大チーム１４．２０検証の結果
マス・ポヌペア１４円上の点と焦点との距離の和が
一定であることから計算
東大生チーム１４円上の点と焦点との距離の和が
一定であることから計算

正解…１４　マスチーム、東大生チーム正解！

あっさり解かれて中村先生がっくり。解説を加えることも無かったみたいです。

点 Q, R のある円の中心をそれぞれ A, B とすると

　 PQ ≦ PA + AQ, PR ≦ PB + BR

PQ = PA + AQ となるときは点 Q は直線 PA と円 A の交点にあるときである。 点 R についても同様に考えると

　 PQ + PR ≦ (PA + AQ) + (PB + BR) = PA + PB + 4

A, B は楕円の焦点であるため PA + PB は P の位置にかかわらず長軸の長さ 10 と等しい。
　よって PQ + PR の最大値は 10 + 4 = 14 である。

問題で使った図は見栄えをよくするため、焦点の位置や円の半径や変えました。正しく図を書くと…


こうなります。

今回、秒殺を見せたのはポヌさん。というわけでコマ大フィールズ賞はマス・ポヌペアに渡った。

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