前後左右には右の図のように６個並べられるため合計２０個。
「コマ大数学科」に挑む・１１年１２月
最終更新日２０１２年２月２日
フジテレビで深夜に放送されている「コマ大数学科」の問題に解く様子をご紹介します。数学をやってきたので簡単に解ける…と思ったものの…その奮闘振りをお楽しみに。なお、福岡での放送は二週間遅い模様です。そこら辺はご勘弁を。| ホームズの謎(12/7) | |||||
| 視聴者からの挑戦状 (12/14) | |||||
| ルーレット(12/21) | |||||
| ２５０回記念(12/28) |
ご意見がありましたらtfujisaki2006@yahoo.co.jpまでお願いします。
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問題： 赤いサイコロが１個と同じ大きさの白いサイコロが多数あります。以下の条件で白いサイコロを並べたとき最大何個の白いサイコロを並べることができるでしょう。
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コマ大チームチームの解答：
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マス・ポヌペア、東大生チームの解答：
前後左右には右の図のように６個並べられるため合計２０個。 |
正解…２４個 全員不正解！
いわくつきの２４個。どのように立方体が接しているのでしょう？
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前後の面には真ん中の図のように７個接するように並べることができる。 最後に、左の面には６個接するように並べる。
以上から立方体の個数は４＋７＋７＋６＝２４個となる |
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「視聴者からの挑戦状 (12/14)」
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問題： 1 〜 10 の整数を以下の条件を満たすように並べるとき、何通りの並べ方があるでしょうか： 並べたものを最初から２個ずつの数を「組」と呼ぶことにする。
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| コマ大チーム | ８４通り | 検証の結果 |
| 東大生チーム | ４２通り | 奇数と偶数の組を探した。 |
| マス・ポヌペア | ？？通り | すみません。解答を取り忘れました。 |
正解…８４通り、コマ大チーム正解！
見事コマ大チームが正解を出した。解説は以下の通り。
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１０個の数字の組み分け、各組の順番を決めると問題の条件を満たす１０個の数字の並びは３番目以降が決まる。 たとえば (1,2) (3,4) (5,6) (7,8) (9,10) と組み分けし、この順で順番を決めると各組とも偶数が大きいため、 「1, 2, 4, 3, 6, 5, 8, 7, 10, 9」,「2, 1, 4, 3, 6, 5, 8, 7, 10, 9」 という並べ方に決まる。同様に、(1,10) (7,8) (5,6) (2,3) (4,9) という組と順番を決めると「1, 10, 8, 7, 6, 5, 2, 3, 9, 4」,「10, 1, 8, 7, 6, 5, 2, 3, 9, 4」 という並べ方に決まる。 |
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問題では最初の数字は順に 1, 6 としているため、残り８個の数字の組み分けと順番が何通りあるかを求めればよい。 さらに最後（１０番目）の数字が 8 であるため９番目の数字は奇数。問題の条件からひとつ前の組（７，８番目）の大きい数は奇数であることが分かる。この条件を満たす組は 1, 6, 8 は使うことができないため、 (2,3), (2,5), (2,7), (2,9), (4,5), (4,7), (4,9) の７通りしかない。各組を決めるごとに
２，４，５番目の組の奇数の決め方に６通り。
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「ルーレット (12/21)」
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問題： Ａ〜Ｆの６人が丸いテーブルの周りに図のように座っている。テーブルの中央にはルーレットがあり、ルーレットを回転して自分の前に来た数字を得点として加えていくゲームを行う。
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| コマ大チーム | Ａから順に 15, 14, 13, 10, 11, 12 | 検証の結果 |
| 東大生チーム | Ａから順に 15, 11, 14, 10, 14, 11 | Ａが逆転する得点を考えた |
| マス・ポヌペア | Ａから順に 15, 14, 13, 10, 11, 12 | Ａが 5,5,5 点を取ると 逆転できないことから |
正解…Ａから順に 15, 14, 13, 10, 11, 12、コマ大チーム、マスペア正解！
各組とも、２回目の時点でＡが最下位であることは分かっていた。そこからどう逆転するかはルーレットの数字の並びから考えることがポイント。
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１回目の最高得点をとった人はＣであるため６人の得点は
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ルーレットのむかい合う２つの点数の合計はいずれも５点。よってむかい合うＡとＤの５回目が終わった時の得点の合計は５×５＝２５点。Ｄはすでに９点を取っている。この状態でＡが５回目に最高得点を取るためには以下の場合がある。
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「２５０回記念 (12/28)」
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問題： 半径１の円に内接する正６角形の頂点を時計回りにＡ１，Ａ２…，Ａ６と付ける。任意の３点を選んで三角形を作るとき、三角形の面積の期待値を求めなさい。 ただし、同じ点を２回以上選ぶときも含め、その時は面積は０とする。
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２５０回を迎えても衰え知らずのマス北野、そして容赦しない東大生・秒殺シスターズ。着々と答えを導いていく。一方秘策を受けたコマ大チームは鉛筆をコロコロ転がしていた。鉛筆で３個の頂点を決めて、面積の期待値を地道に求める作戦に出た。時間内にどこまで正解に近づけるか？
| コマ大チーム | 0.36808 | 鉛筆を転がした結果 |
| 東大生チーム | √3/4 | 作られる三角形の面積を 元に計算。 |
| マス・ポヌペア | 4√3/7 | 作られる三角形の面積を 元に計算。 |
正解… √3/4 東大生チーム 見事正解！
東大生チーム文句なしのコマ大フィールズ賞であった。解説は以下の通り。
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６点から任意の３点を選ぶ方法は同じ点を複数回選ぶ場合も含めて 6×6×6 = 216 通りある。このうち三角形を形成する選び方、そして三角形の面積は以下のとおりである。
36 × √3/4 + 72 × √3/2 + 12 × 3√3/4 = 9√3 + 36√3 + 9√3 = 54√3 上の合計の値を 216 で割ると期待値が求まる。54√3 / 216 = √3/4 |
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