Question: Six mattresses are stucked in a warehouse. Each mattress was originally 12 cm thick but thickness is reduced by one third each time an additional mattress is piled on top. What is the height of the stack?

問題： 倉庫にマットレスが６枚重なっています。 マットレス１枚の厚さは１２ｃｍ。しかし、 上に１枚マットレスが載ると、厚さは１／３に縮まる。 このとき、６枚のマットレスの高さはいくつになるでしょう？

　今回の東大生チームは前回英語が今一つであることが判明した杉山・瀬戸山ペア。しかし、いざ問題となると一変。着実に問題を把握し、答えを導いていく…と思ったが？

コマ大チーム	17.9 cm	検証の結果
東大生チーム	2660/81 cm	マットレスは「１／３分縮まる」 と考え計算。
マス・ポヌペア	32.8 cm	マットレスは「１／３分縮まる」 と考え計算。

正解…2660/81 (およそ 32.83) cm　東大生チーム、マス・ポヌペア正解！

問題： 倉庫にマットレスが６枚重なっています。 マットレス１枚の厚さは１２ｃｍ。しかし、 上に１枚マットレスが載ると、厚さは１／３だけ縮まる。 （つまり厚さは２／３になる） このとき、６枚のマットレスの高さはいくつになるでしょう？

マットレス１枚の厚さは 12 cm。この上にマットレスを１枚載せると 下のマットレスは 12 cm の 2/3、つまり 8 cm となる。上のマットレスは 12 cm のまま。 この２枚の上にさらにマットレスを１枚載せると、 　一番下のマットレスは 8 cm の 2/3、つまり 16/3 cm。 　真ん中のマットレスは 12 cm の 2/3、つまり 8 cm。 　一番上のマットレスは 12 cm のまま。 マットレスは一番上は 12 cm で、下は一つ上のマットレスの厚さの 2/3 になる。以上から ６枚重なっているときの厚さの合計は 12 + 8 + 16/3 + 32/9 + 64/27 + 128/81 = 2660/81cm

問題： 　六角形の形をした紙を図のようにハサミで切り 並べ替えて正方形にした（ハサミを入れたギザギザの 数は６個です） 　六角形の周囲が７０ｃｍ（赤線の部分）ハサミの切り口の長さが６１ｃｍ（青線の部分） であるとき、正方形の一辺の長さを求めなさい。

　ひらめきで勝負のマス北野。一方東大生チームは秒殺シスターズ。計算で答えを求めようとするが 何やら長い計算式が現れた。正解にたどり着けたのか？

コマ大チーム	１８ｃｍ	検証の結果
東大生チーム	１８ｃｍ	方程式を作って解いた。
マス・ポヌペア	１７ｃｍ	９０の半分４５の約数 から考えた。

正解…１８ｃｍ　コマ大チーム、東大生チーム正解！

上の図のように切り取り線の縦の線から周囲の辺へまっすぐ線を引き、辺までの距離を x, 辺の交点から正方形の頂点までの長さを y, 切り取り線の斜め線の長さを a とする。 　このとき正方形の一辺の長さは 6y, 頂点から切り取り線の交点までの長いほうの距離は 6x, 短いほうの距離は 6y-6x となる。この短いほうの距離は切り取り線の縦方向の長さと同じである。 　問題の図から、六角形の周囲の長さは 2*(6x+6y+a), 切り取り線の長さは 6(6y-6x)+5a となる。

問題 　以下のルールに従ってゲームを行います。このゲームの必勝法を見つけなさい。 先手は１からスタート。一度に +1, +2, +10, +20 された数字のマスに移動できる。 後手は１００からスタート。一度に -1, -2, -10, -20 された数字のマスに移動できる。 先手は後手の数字より少ない数字のマスにいなければいけない。 後手は先手の数字より多い数字のマスにいなければいけない。 移動できなくなったら負け。

　必勝法を見出すためにマスが取った行動は消しゴムを先手・後手の位置に置き実際に動かしていった。東大生チームは消しゴムではなく鉛筆で位置を指しながら思案する。各組の解答は以下の通り

コマ大チーム	後手が常に端にいるようにする と勝てる
東大生チーム	両者が３×３の対角線の位置に 入るようにする。
マス・ポヌペア	後手が相手と奇数だけ差をとる ようにする

正解は…３組とも不正解。が…

どちらかが負けになるときは、両者が隣り合う（差が１である）２つの数字にいるときである。この時、両者の移動したマス目を数えると合計がちょうど９８になる。つまり、先に移動したマス目の合計を９８にすれば勝ちになる。 　たとえば、下の図のように先手が「53」後手が「54」に入った状態で勝負が決まった時、先手は 52 マス、後手は 46 マス移動しているため、合わせて 52+46 = 98 マス移動したことになる。 　そこで、先手が最初２マス（または２０マス）進めば先手は必ず勝てる。 このあと両者は９６または７８マスだけ離れている。両方の数はともに３の倍数であるため、後手の移動したマス目に対して、合わせて３の倍数になるように移動すれば負けることはない。 　後手が１マス、または１０マス移動したとき、先手は２マス、または２０マス移動する。 　後手が２マス、または２０マス移動したとき、先手は１マス、または１０マス移動する。

問題： 　図のような四角形 ABCD と点 M がある。点 M を中心とする平行四辺形で４個の頂点が それぞれ AB, BC, CD, DA 上にある平行四辺形を作図しなさい。

　万能の製図道具を手に解答に挑むコマ大チーム。しかし中村先生から「目盛を使わないように」という指摘から目盛を隠して平行四辺形を作る。マス・ポヌペアと東大生チームは正解の手掛かりとなる作図を始めた模様だが、マスはそれを消してしまった。はたして解答は

コマ大チーム マス・ポヌペア		点Ｂを含む平行四辺形 を作った
東大生チーム		点Ｍで点対称な四角形を 描き作図した

正解は…東大生の作図方法は正解です

点 M に対して四角形 ABCD と対称な四角形 A'B'C'D' を描く。 　２直線 AB, A'D' の交点、２直線 AD, A'B' の交点を求める。 これら２点は点 M に対称な位置にあるため、２点を結ぶ線分の中点が M になる。 　同様に２直線 BC, C'D' の交点、２直線 CD, B'C' の交点の２点も点 M に対称な位置にあるため、２点を結ぶ線分の中点が M になる。 　これら４個の交点からなる四角形は２本の対角線が中点 M で交わるため平行四辺形になる。

一般に交わる２直線 p, q を含み点 M を頂点とする平行四辺形から 辺の長さを２倍に延ばし点 X, Yを決める。このとき線分　XY の中点は点 M になる。 　問題の四角形において、交わる２直線として BC と CD, AB と AD の２組に対して上と同じ作図をすると点 M を 中点とする２本の線分が求まり、２本の線分（図の赤い線）を対角線とする平行四辺形が問題の条件を満たすことが分かる。

問題： 　自動車で北東の方角にあるゴールに向かいます。ゴールまでの到着の間、 自動車の鼻先が一度も北東を向くことなく進む場合のルートを作図しなさい。 （自動車はバックをしてはいけません）

　今回の問題、即答したのは秒殺シスターズ。答えの図をさっと描いて、念のための確認作業。一方のマス北野は「平面上で答えを出すのか」と質問。おそらく地球をぐるっと回るルートを考えていたらしい。

こんなルートを考えていたのかも…

正解…３組とも正解！

上の図のように北東より北→北東より東というように車を方向転換する場合、右方向に転換すると一瞬でも必ず車は北東の方角を向く（左の図。矢印が車の方向） 　そこで左方向に転換すると、北東の方角を向くことなく車は北東より東に方向転換できる（右の図） 　東大生チームやマス・ポヌペアは北東より東→北東より北という方向転換をしたルートを考えたが、この場合は方向転換に向きが逆になる。

「平均値の定理」とは問題の様にスタートからゴールまで移動するとき、必ず「スタートからゴール」 を結ぶ直線と平行な方向を向く、という定理。上の図では赤い矢印が平行な方向を向いているときである（本当はもっと解説が必要ですがこの位で勘弁） 　今回の問題でもどのルートでも必ず「北東」に平行な方向を向くが、「北東」と反対方向の「南西」を向くこともある。これが答えの右の図のルートになる。