「コマ大数学科」に挑む

　２個の格子点を (x1, y1), (x2, y2) とする。この２点の中点が格子点になる条件を考える。
　 (x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2 がともに整数。
⇔ x1 + x2, y1 + y2 はともに偶数。
⇔ x1 と x2 は「ともに偶数」または「ともに奇数」
　同じく y1 と y2 は「ともに偶数」または「ともに奇数」

　問題の５個の点について、ｘ座標、ｙ座標がそれぞれ偶数か奇数であるかということについて場合分けを行うと次のいずれかになる。
　
ｘ座標：偶数、ｙ座標：偶数　（下の図の赤の点）
　
ｘ座標：偶数、ｙ座標：奇数　（下の図の緑の点）
　
ｘ座標：奇数、ｙ座標：偶数　（下の図の青の点）
　
ｘ座標：奇数、ｙ座標：奇数　（下の図の黄の点）

　点は５個あるため、そのうち４点が上の各条件に当てはまっても、残りの５点目も上の４個の条件のいずれかに当てはまるため、少なくとも２点は４個の条件のうち同じ条件に当てはまる。
　この２点は上で考えた
x1 と x2 は「ともに偶数」または「ともに奇数」
同じく y1 と y2 は「ともに偶数」または「ともに奇数」
を満たすため、この２点の中点は格子点になる。

「ディリクレの定理」とは「n+1 個以上のものを n 種類のものに振り分けるとき、2個以上含まれる種類が少なくとも１個はある」という当たり前のような定理。今回の問題では「 5 ( = 4+1) 個の点を 4 個の条件で分けると、当てはまる点が 2 個以上ある条件が１個はある」ということ。
　今回は証明が完璧だったため、マス・ポヌペア、東大生チームの２組にコマ大フィールズ賞が渡った。

数学とクイズでくつろいで＜数学の部屋＜「コマ大数学科」に挑む＜「コマ大数学科」に挑む・１２年３月

「視聴者からの挑戦状 Part 2 (3/14)」

　昨年１２月に第１問目が出題された「視聴者からの挑戦状」今回はどんな問題なのでしょうか？

以下の６個のサイズの直方体がそれぞれ６個ずつある。

１×１×１、２×２×１、３×３×１
４×４×１、５×５×１、６×６×１

　これら３６個を直方体の箱に収めたい。箱の縦、横、高さの合計が最も小さいときの箱のサイズを求めなさい。

　コマ大チームが検証で訪れたのは以前たけし軍団に所属し、現在氷の製造業を営んでいる男性。今回は問題の長方形の大きさの氷を使って正解の箱のサイズを探し出す…
　と、簡単にいうものの氷が解けてしまうため、検証が行われるのは冷蔵庫の中。氷点下の中４人のおっさんが必死に氷を積み重ねていく。あわや凍死寸前？？のところで答えを出すことができた。

　マスも東大生も図を描いて考えていく前に計算をして答えのめどを付けた。あとは実際に答えのサイズの箱に直方体が入るかを考える。解答は以下の通り

コマ大チーム ６×７×１３ 実際に氷の直方体を披露

マス・ポヌペア ６×７×１３ 体積の合計を素因数分解
して計算。

東大生チーム ６×７×１３ 体積の合計を素因数分解
して計算。

　私は最初、各直方体を「１個ずつ」箱に入れる問題だと勘違いしていた。しかし「６個ずつ」であることに気づいて「あ、何だ」の一言で答えを出した。

正解…６×７×１３　全員正解！

　見事に正解の直方体を作ったコマ大チームに竹内先生もビックリ。それでは解説です。

　一般に１×１×１～ｎ×ｎ×１の直方体の一個ずつの体積の和は
1^2 + 2^2 + … + n^2 = n (n + 1) (2 n + 1) / 6
　問題ではｎ＝６の場合であるため、一個ずつの体積の和は
6 × 7 × 13 / 6 = 91
　よって直方体が６個ずつあるときの体積の和は 91 × 6 = 546.
体積が 546 となる直方体でサイズが最も小さいものを探す。
546 = 2 × 3 × 91 寸法の和：96
　　= 2 × 7 × 39 寸法の和：48
　　= 2 × 13 × 21 寸法の和：36
　　= 3 × 7 × 26 寸法の和：36
　　= 3 × 13 × 14 寸法の和：30
　　= 6 × 7 × 13 寸法の和：26
よってサイズが最も小さい直方体は 6 × 7 × 13 である。
　では実際に 6 × 7 × 13 の直方体の中に問題の直方体を入れることができるのでしょうか？
　番組では１×１×１～６×６×１の直方体一個ずつをピラミッド状に積み、同じもの６個で直方体を作ったが、ここでは別の方法で直方体に入れる方法を考えます。

　上の左の図のように横７、奥行き６、高さ１３という方向に直方体を置く。このとき上下左右を６×６×１の直方体６個で取り囲むように並べることができる。
　囲まれた中の直方体は横５、奥行き６、高さ１１になる。今度は上下前後を５×５×１の直方体６個で取り囲むように並べることができる。
　このように周りを取り囲むように直方体６個を並べていくと最後に横１、奥行き２、高さ３の直方体が残る。この直方体は１×１×１の立方体６個で並べることができる。

　今回いち早く解答を出したのはポヌさん。見事な連係プレー（？）でマス・ポヌペアがコマ大フィールズ賞をゲット。

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「５０年前の東大入試 (3/21)」

　今から５０年前の１９６２年はビートルズがデビュー、「てなもんや三度笠」が始まり、東京大学では文科・理科がⅠ～Ⅲ課に分かれた年。このころの東京大学の入学試験はどのような問題があったのでしょうか

問題：
　半径１／２ｍの円周を６等分する各点を中心とする半径１／２ｍの円を描きます。このとき外周に囲まれる部分の面積を求めなさい。

　コマ大チームは円といえばフラフープ、ということでフラフープ教室を訪れた。明らかにメタボと分かるお腹を引き締めるために先生の指導のもと汗だくで練習に励む。少しはダイエット効果が出たかな、というところで検証を開始。問題の図のようにフラフープを並べて、外周をひもでかたどって、さて面積…はどのように求めたのでしょうか？

　東大生チーム木村・杉山ペアから出た言葉は「中学生でも解ける問題だよ」簡単に計算をして答えが出たため、何か裏があるのではといぶかる２人。対照的にマス・ポヌペアは黙々と計算を進める。

コマ大チーム 2.8 ㎡ 外周のひもを正方形と円の形にして、
２つの面積の中間をとった

マス・ポヌペア π／２＋３√３／４ 問題の形を２種類の形に分割して計算

東大生チーム π／２＋３√３／４ 問題の形を２種類の形に分割して計算

　マス・ポヌペアも東大生チームも考え方は同じだが、分割した形が異なった。

正解…π／２＋３√３／４　マス・ポヌペア、東大生チーム正解！

「東大入試は意外と易しい問題が多い」と中村先生の一言。では解説です。

今回は説明がよかった、ということでコマ大フィールズ賞は東大生チーム。

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「卒業試験 Part 3 (3/28)」

　初登場でいきなりの「秒殺」解答を見せた衛藤・伊藤ペア、テニスクラブ「トマト」で人気を集めた山田さん。この３人が大学卒業と共に番組も卒業。というわけで、今回はこの３人がマス・ポヌ・木村チームと卒業試験で対戦。

問題：
　３で割ると２余り、５で割ると３余り、１１で割ると９余る
このような１０００以下の整数で最も大きいものを求めなさい。

わたくし、久しぶりに「ん～シンプル」と思ってしまいました。着実に計算を進める６人。今回は百の位、十の位、一の位を一人ずつが解答。全員当てないと正解にならない。

マスチーム ８８８（左から木村・ポヌ・マスが解答）

東大生チーム ８３８（左から衛藤・伊藤・山田が解答）

　答えが二つに分かれました…ん？私の解答と違う？

正解…８７８　両チームとも不正解！

簡単に解説です。

正解の整数をｎとする。このときｎ＋２という整数は以下の性質を持つ。
　ｎを３で割ると２余る　⇒　ｎ＋２を３で割ると１余る
　ｎを５で割ると３余る　⇒　ｎ＋２を５で割ると余りは０、つまり５で割り切れる。
　ｎを１１で割ると９余る　⇒　ｎ＋２を１１で割ると余りは０、つまり１１で割り切れる。
２，３番目の条件からｎ＋２は５５の倍数であることが分かる。５５の倍数で３で割ると
１余る数は５５自身がある。よって５５－２＝５３がｎの条件を満たす。
　５３と同じく問題の条件を満たす整数は５３以外に３×５×１１＝１６５の倍数を加えた
整数がある。そのような整数を考えると
５３、２１８、３８３、５４８、７１３、８７８、１０４３…
となるため、１０００以下で最も大きい整数は８７８である。

　何とも苦々しい結果。そこで卒業試験の追試験を出題。

問題：
　階段を一歩で１段または２段上がっていきます。ただし、
連続して２段上がることはしません。
　この条件で１５段昇る方法は何通りあるでしょうか？

「ん～シンプル？」と唸ってしまいました。おなじみのフィボナッチ数列とは違うようですがどのように計算すれば良いのでしょうか？

マスチーム ２７７（左から木村・ポヌ・マスが解答）

東大生チーム ２７７（左から衛藤・伊藤・山田が解答）

　今回は答えが合いました…ん～私は答えが出せず

正解…２７７　両チームとも正解！

この問題ではフィボナッチ数列のようにすんなりとは解けないとのこと。

　条件を満たす階段の昇り方について、一歩で２段上がる歩き方が何歩あるかで場合分けをする。
２段上がる歩き方が０歩のとき：この時はすべて一歩で１段ずつ上がる
⇒昇り方は１通り
２段上がる歩き方が１歩のとき：この時は１３歩が１段上がる歩き方である。この１３歩と２段上がる１歩の並べ方は
２＋１＋…＋１、１＋２＋…＋１、……、１＋１＋…＋２
という方法がある。
⇒昇り方は１４通り
２段上がる歩き方が２歩のとき：この時は１１歩が１段上がる歩き方である。この１１歩と２段上がる２歩の並べ方で後者の２歩が連続しないものは
２＋１＋２＋１＋…＋１、２＋１＋１＋２＋…＋１、……
１＋…＋２＋１＋１＋２、１＋…＋１＋２＋１＋２
という方法がある。これらは１１個の「１」の間１０か所と両端２か所の合計１２か所のうち２か所に「２」を入れた並べ方と同じと見ることができる。
⇒昇り方は 12 C 2 = ６６通り

この考え方を応用すると
２段上がる歩き方がｎ歩のとき：（１５－２ｎ）歩が１段上がる歩き方である。これらの歩き方の並びで連続して２段上がらないものは（１５－２ｎ）個の「１」の間（１４－２ｎ）か所と両端２か所の合計（１６－２ｎ）か所のうちｎか所に「２」を入れた並べ方と同じと見ることができる。
⇒昇り方は (16-2n) C n 通り
となる。
ｎ＝３　⇒ (16-2*3) C 3 = １２０通り
ｎ＝４　⇒ (16-2*4) C 4 = ７０通り
ｎ＝５　⇒ (16-2*5) C 5 = ６通り
ｎが６以上のとき、16-2n ≦ n となるため、条件を満たす並べ方ができない。以上から問題の条件を満たす並べ方は
１＋１４＋６６＋１２０＋７０＋６＝２７７通り

　このあと、コマ大チームからの粋なクイズを加えコマ大メンバーからの贈る言葉と共に３人は卒業となった。初代東大生チームの卒業の後、いきなり大所帯となった東大生チームのメンバー。３人も減って寂しいですが、また新たなメンバーが加わるのでしょう。それにしても、私も長々と続けているもんだな…

数学とクイズでくつろいで＜数学の部屋＜「コマ大数学科」に挑む＜「コマ大数学科」に挑む・１２年３月

コマ大チーム	何回も検証をしたが、必ず問題の条件を満たす２点がある、と報告。
東大生チームマス・ポヌペア	ｘ座標とｙ座標の偶奇が同じである２点がある。その２点の中点は格子点である。

コマ大チーム	６×７×１３	実際に氷の直方体を披露
マス・ポヌペア	６×７×１３	体積の合計を素因数分解して計算。
東大生チーム	６×７×１３	体積の合計を素因数分解して計算。

コマ大チーム	2.8 ㎡	外周のひもを正方形と円の形にして、２つの面積の中間をとった
マス・ポヌペア	π／２＋３√３／４	問題の形を２種類の形に分割して計算
東大生チーム	π／２＋３√３／４	問題の形を２種類の形に分割して計算

マスチーム	８８８（左から木村・ポヌ・マスが解答）
東大生チーム	８３８（左から衛藤・伊藤・山田が解答）

マスチーム	２７７（左から木村・ポヌ・マスが解答）
東大生チーム	２７７（左から衛藤・伊藤・山田が解答）