問題： 　１より大きい整数に対して以下の操作を行い、計算結果が１になるまで 繰り返します。 整数が偶数のとき、その数を２で割る。 整数が奇数のとき、その数に１を加える。 整数 n に対して、上の操作を行い１になるまでの操作の回数を f(n), 整数 N に対して、f(1) から f(N) の和を g(N) と表します。 このとき g(32) を求めなさい。 例えば、3 から始めたとき、 3 → 3+1 = 4 → 4/2 = 2 → 2/2 = 1 と３回の操作で１になるため f(3) = 3。ただし f(1) = 0 として考える。

　ビールがなくても問題は解ける…あたりまえだけど。計算用紙に数を書き並べていく両チーム。なにがしかの法則が見つかればよいが決め手がないまま時間が過ぎていった。

コマ大チーム	１７８	検証の結果。しかし酔っていたので 数え間違いがあるかも？
マス・ポヌペア	１７５	ポヌさんと分担してひたすら数えた。
東大生チーム	１７８	ひたすら計算した。 もう少しで漸化式ができそう…

正解…１７８　コマ大チーム、東大生チーム正解！！

f(n) の値を並べると以下の結果となる。 n 1 2 3 4 5 6 f(n) 0 1 3 2 5 4 　g(N) には以下のような漸化式があります。 g(2N) = 2*g(N) + 3*N - 2 例えば上の表から g(3) = 4, g(6) = 15 となる。このとき g(2*3) = 2*g(3) + 3*3 - 2 が成り立つことが分かる。この漸化式を使い 2 のべき乗の数の g(N) の値を求めていく。 g( 4) = 2*g( 2) + 3* 2 - 2 = 6 g( 8) = 2*g( 4) + 3* 4 - 2 = 22 g(16) = 2*g( 8) + 3* 8 - 2 = 66 g(32) = 2*g(16) + 3*16 - 2 = 178 これで g(32) = 178 という答えが出てくる。

上の漸化式の証明は帰納法を使います。 N = 1 のとき上の表から g(2) = 2*g(1) + 3*1 - 2 であることが分かる。 g(2N) = 2*g(N) + 3*N - 2 が成り立つときに、N を N+1 に替えても成り立つことを 証明する。f(2N+1) と f(2N+2) を考える。2N+1 から操作を始めると 2N+1 → (2N+1) + 1 = 2N+2 → (2N+2) / 2 = N+1 となり以降は N+1 から始める操作であるため、f(2N+1) = 2 + f(N+1) と表される。同様に 2N+2 → (2N+2) / 2 = N+1 より f(2N+2) = 1 + f(N+1) となるため g(2N+2) = g(2N) + f(2N+1) + f(2N+2) 　　　　= 2*g(N) + 3*N - 2 + [2 + f(N+1)] + [1 + f(N+1)] 　　　　= 2*g(N) + 3*N - 2 + 2*f(N+1) + 3 　　　　= 2*g(N+1) + 3*(N+1) - 2 つまり N を N+1 に替えても式は成り立つ

　今回のテーマ「コラッツの定理」とは以下のようなもの。

１より大きい整数に対して以下の操作を行う。 整数が偶数のとき、その数を２で割る。 整数が奇数のとき、その数を３倍して１を加える。 　このとき、すべての整数が有限回の操作で１になる？

問題： 　Ａ，Ｂ，Ｃの３人でじゃんけんを１００回行った。９９回目までの結果は以下の通り あいこ…４４回、１人勝ち…３３回、２人勝ち…２２回 １００回行ったとき、３人が出した手を調べると、グー、チョキ、パーがそれぞれ１００回ずつであった。 　このとき１００回目のじゃんけんの結果は何でしょう。

　東大生チームは相手の傾向でじゃんけんの手を読む瀬戸山さんと、からっきし苦手な杉山さんペア。何やら長い方程式が出てきた。一方マスはじっと考え込む。

コマ大チーム	１人勝ち	検証の結果。１００回目は パー、グー、グー
マス・ポヌペア	１人勝ち	「１００」は３で割ると １余るから？
東大生チーム	２人勝ち	９回ごとに同じ結果が 出る、という推測から

正解…１人勝ち　コマ大チーム、マス・ポヌペア正解！！

１人勝ちになる手は「グ、チ、チ」「チ、パ、パ」「パ、グ、グ」の３通り。 １００回じゃんけんをした時のそれぞれの結果の出た回数を a, b, c とおく。 ２人勝ちになる手は「グ、グ、チ」「チ、チ、パ」「パ、パ、グ」の３通り。 １００回じゃんけんをした時のそれぞれの結果の出た回数を d, e, f とおく。 あいこになる手は「グ、グ、グ」「チ、チ、チ」「パ、パ、パ」「グ、チ、パ」の４通り。 １００回じゃんけんをした時のそれぞれの結果の出た回数を g, h, i, j とおく。 　このときグーの出た回数は a+2c+2d+f+3g+j となる。同様にチョキの出た回数を求めると 2a+b+d+2e+3h+j となる。ともに１００回ずつで等しいため、 　 a+2c+2d+f+3g+j = 2a+b+d+2e+3h+j ⇒ a+b-2c-d+2e-f-3g+3h = 0 ⇒ (a+b+c)-(d+e+f)= 3(c-e+g-h) この式で a+b+c は１人勝ちの回数、d+e+f は２人勝ちの回数である。上の式から (a+b+c)-(d+e+f) は３の倍数でなければいけないが、９９回目までの結果を見ると 33 - 22 = 11 。１００回目にこの値が３の倍数になるためには、１人勝ちを一回増やして 34 - 22 = 12 としなければならない。 　つまり１００回目は１人勝ちになる。

あいこになる４通り「グ、グ、グ」「チ、チ、チ」「パ、パ、パ」「グ、チ、パ」 がそれぞれ１１回ずつ出てくる。これであいこの結果は４４回。 １人勝ちになる３通り「グ、チ、チ」「チ、パ、パ」「パ、グ、グ」 のうち「グ、チ、チ」が１２回、残りの「チ、パ、パ」「パ、グ、グ」が１１回ずつ出てくる。 これで１人勝ちの結果は１２＋１１＋１１＝３４回。 　１００回目に１人勝ちのいずれかが出ると考えると、９９回までに１人勝ちが３３回でることになる。 ２人勝ちになる３通り「グ、グ、チ」「チ、チ、パ」「パ、パ、グ」 のうち「グ、グ、チ」「チ、チ、パ」が７回ずつ。残りの「パ、パ、グ」が８回出てくる。 これで２人勝ちの結果は７＋７＋８＝２２回。

上の１００回のじゃんけんの結果でグー、チョキ、パーが何回出てきたかを計算する。 あいこのときは３つとも４４回ずつ出てくる。 １人勝ちのときはグー：１２＋２２＝３４回。チョキ：２４＋１１＝３５回。パー：３３回である。 ２人勝ちのときはグー：１４＋８＝２２回。チョキ：２１回。パー：７＋１６＝２３回である。 以上からグー、チョキ、パーの出た回数の合計が１００回ずつであることが分かる。

問題： 　円盤の上に１２枚の皿が等間隔に配置されています。同じ重さの重り５個を 皿の上の置き、傾かないようにするにはどのように置けばよいのでしょうか？ 　ただし、１枚の皿に２個以上の重りは置けません。

　即座にひらめいたのはマス北野。あっという間に答えを出した。苦戦する東大生をしり目に意気揚々のコマ大チームとマス・ポヌペア。しかし、問題がもう１問用意されていた。

問題（第２問）： 　円盤の上に１２枚の皿が等間隔に配置されています。重さが１０ｇ、２０ｇ、３０ｇ、 ４０、５０ｇの重り５個を 皿の上の置き、傾かないようにするにはどのように置けばよいのでしょうか？ 　ただし、１枚の皿に２個以上の重りは置けません。

　まず第１問の解説と正解は以下の通り。

２個の重りはお互いに反対の皿に乗せると釣り合う。３個の重りは円周を３等分する位置の皿に乗せると釣り合う。 　この２つの皿の位置を重ねると、５個の重りを乗せても釣り合う置き方が求まる。

正解…東大生チームの置き方が正解！！

「１０ｇを２個」「２０ｇを２個」「３０ｇを３個」それぞれの場合の釣り合う置き方を考えて、それらを組み合わせると問題の重りの置き方ができる。