今回は２組の対抗戦。ハンナさんとポヌさんのペア、そして意外や意外初めてペアを組むマスと木村さんペア。お互い違う問題を出して正解を出せるか競う。

ハンナ・ポヌペアへの問題： 　Ａさんの友人３人がゴルフをしていました。赤い帽子の友人が「私たち帽子の色もゴルフバッグの色も赤、青、白のものを使っている」といいました。それを聞いて別の青のゴルフバッグの友人が「でも帽子の色とゴルフバッグの色が同じ人はいないね」と言いました。 　さて、赤、青、白の帽子の友人はそれぞれ何色のゴルフバッグを持っていたでしょうか？

マス・木村ペアへの問題：

マス・木村ペアへの問題： 　９×９のマス目に図のＡ，Ｂの２つの図形を重ならないように並べます。マス目のうち使われないマス目が一つだけ残るように並べるとき、使われるＢの最低個数はいくつでしょう。

マス・木村ペア	４個	条件に合う図を描いて考えた。
ハンナ・ポヌペア	赤帽−白バッグ 青帽−赤バッグ 白帽−青バッグ	表を使って考えた。

マス・木村ペアの正解…１個　不正解！

ハンナ・ポヌペアの正解…
赤帽−白バッグ
青帽−赤バッグ
白帽−青バッグ
正解！！

ハンナ・ポヌペアへの問題の解説： 　まず、赤い帽子の友人のゴルフバッグの色を考える。２番目の友人の「帽子の色とゴルフバッグの色が同じ人はいない」という言葉から、赤のゴルフバッグでないことが分かる。さらに２番目の友人は青のゴルフバッグを持っているため、赤い帽子の友人は残った白のゴルフバッグを持っていることが分かる。 　同じ理由から青のゴルフバッグの友人は青の帽子でも赤の帽子でもないため、白の帽子をかぶっていることが分かる。 　残った帽子の青の帽子と、残ったゴルフバッグの赤のゴルフバッグがもう一人の友人の帽子とゴルフバッグの色の組み合わせである。

マス・木村ペアへの問題の解説： 　左の図のようにＡを６個組み合わせると３×６の長方形を作ることができる。 　９×９のマス目を３×３の１個の正方形と３×６の４個の長方形に分割する。３×６の長方形 は先ほどのＡを６個組み合わせた形を並べて、３×３の正方形にはＡとＢを１個ずつ並べると Ｂを１個だけ使った並べ方ができる。 　ちなみにＢを使わない並べ方を考えると、マス目の数が３（Ａのマス目の数）の倍数であるため、 １個だけマス目を残して並べることはできない。よってＢを一番少なく使った並べ方はＢを１個使った並べ方である。

問題： 　一辺が１の立方体を接着剤で貼り付けて、３×３×２の直方体を作りたい。 接着剤は１滴あれば２個の立方体の面同士を貼り付けることができる。 このとき接着剤は最低何滴あれば直方体を作ることができるか？ 　なお、直方体はどの方向でも他の立方体に引っかかって分けることができないのであれば、 全部の立方体がひとつながりでなくても構わない。 　たとえば３×３×３の立方体を作る場合、一辺が１の立方体を全部つなげて 作ることができるが、中央の立方体は他の立方体と貼り付けていなくても分けることが できないため、この部分は接着剤で貼り付けなくてもよい

　検証は至ってシンプルに立方体をアロンアルファで貼り付けていく。２つの直方体を作ってそれぞれ何滴接着剤を使ったを比べたところ出た結果は？？

　東大生チームは木村・杉山の混成チーム。立方体の接着の方法はめどを付けているが、そこからより少ない接着の方法を見いだせない模様。見いだせなくて悩んでいたのはマス・ポヌペアも同じであった。じっと解答用紙をにらんで考える。コマ大チームはより少ない答えができるかも、ということで粘土で立方体を作って調べてみる。解答は以下の通り

コマ大チーム	１７	３×３の直方体を２個作り 最後に１滴でその２個を付ける
東大生チーム	１７	コマ大チームと同じ
マス・ポヌペア	１３	「１７」より少ない、と考えたが 根拠はなし

正解…１５滴　全員不正解

図のようにＡ，Ｂ，Ｃの３個の立体を作る（Ａ，Ｂは同じ立体）これら３つを組み合わせると３×３×２の直方体を作ることができる。 　Ａ，Ｂを作るために各４滴、Ｃを作るために７滴の接着剤が必要であるため、合計１５滴の接着剤で直方体を作ることができる。 　実際は３つの立体を組み合わせて直方体を作ることができないため、一つの立体を分割した状態で直方体を作り、分割した立体を貼り付ける方法で出来上がる。

問題： 　正百角形の中に正五角形が描かれています。これらの多角形の頂点同士をむすんで線を引き、図形を三角形に分割していくと、三角形は最大何個できるでしょうか？ 　ただし、新しく引かれる線がほかの線と交わってはいけません。 上の図の青の線のように頂点をむすんでいく。赤線のようにほかの線と交わっていはいけない。

　コマ大の検証は久しぶりの３時間の長丁場。一方マスも東大生チームも早々と答えを出した。残った時間で問題の一般化も考えていく。

コマ大チーム	１０７	検証の結果
マス・ポヌペア	１０８	一般化の答えも発表
東大生チーム	１０８	いくつかの多角形に分けて考えた。

正解　…　１０８個、東大生、マス・ポヌペア正解！

まず、問題の通りに図形を三角形に分割する。正五角形の内部の三角形を青、正五角形の外側で正五角形の辺を含むものを赤、それ以外を緑で色分けしてみる。 　青の三角形は３個。 　赤の三角形は正五角形の辺を必ず一つずつ含むため、全部で５個。 　緑の三角形は赤の三角形でいくつかの多角形 T1, T2, ... , Tkに分けられる。多角形 Ti の辺は、 外側の正多角形の辺（この辺の数を Ei とする）と赤の三角形の辺２本で構成されるため、 Ti は (Ei+2)-角形である。 　よってこの多角形内の三角形の数は (Ei+2)-2 = Ei 個である。 　このことから多角形 T1, T2, ... , Tk 内の三角形の合計は E1 + E2 + … + Ek、外側の正百角形の辺の数、つまり 100 と等しい。 　以上から分割して得られる三角形の合計は 3 + 5 + 100 = 108 となる。

この考え方を一般化すると、正 M 角形の内部に正 N 角形があるとき、頂点同士を結んで三角形に分割すると、三角形の数は全部で (N-2) + N + M = M + 2N - 2 である。

問題： 　明訓高校の野球部のセカンドを務める殿馬君が図の (8, 8) の位置で土井垣監督のノックを受けます。 土井垣監督はホームベースのある (0, 0) の位置からノックを打ち、ノックされたボールの速さは殿馬君の走る速さの３倍です。 　このとき、殿馬君がボールを取ることができる範囲を求めなさい。

　ノックのボールの速さが走る速さの３倍になるように調節して検証。しかし猛暑の中のノックで徐々に体力も消耗。それでもついに５０回のノックを終了。コマ大チーム、というよりか溝田さんの検証となった。

　ホームベースとセカンドを結んだ線を引いて考えているのはマス北野。ある程度の形はできている模様。一方東大生チーム木村さんと鈴木さんは、式を作ってひたすら解いていく。

コマ大チームの解答：ややホームベース寄りの楕円形に近い範囲 マス・ポヌペアの解答：(8,8), (12,12) を含む楕円の範囲 東大生チームの解答：中心 (9, 9) 半径 3√2 の円内の範囲

正解…中心 (9, 9) 半径 3√2 の円内の範囲　東大生チーム正解！

O = (0, 0), P = (8,8) とする。ボールを取る位置を X = (x, y) とすると、 ボールの移動距離は OX, 殿馬君が走る距離は PX で表される。 　殿馬君が走る３倍の速さ v とするとボールの速さは 3v となる。殿馬君が点 X に行くまでの時間が ボールより短ければボールをとることができるため、OX と PX の条件は PX/v < OX/3v ⇒ OX > 3 PX となる。この範囲を考える。