問題： 　正方形の紙を使って作られる容器で、最大の容量を持つものを見つけなさい。 　紙は切って、張り合わせることはできるが、隙間ができるとその分容量が減るものとする。

左の図のように切り、いくつかの形に分けて右の図のように貼り合わせる。右の図は容器を上から見た図で中央に行くほど奥に膨らんでいる。

その後、改良を重ねて、さらに容量の大きい容器を作り上げた。その図は以下の通り。作り方は先ほどと同じ。

問題： 　前輪が半径６０ｃｍと大きいオーディナリィ型の自転車でペダルを１００回転させたときの 距離を現在の形の自転車で進むとき、ペダルは何回転させる必要があるでしょう？ 　ここで、現在の形の自転車はペダルのギヤが３２、後輪の歯車の歯が１４、後輪の半径が３５ｃｍ とする。

　さて、計算そして回転数を数える…と思ったら２チームが計算を早々と終わらせてしまった。あとはコマ大チームが帰ってくるのを待つだけ。待つだけ待ったが時間切れ。解答は以下の通り。

コマ大チーム	８１回転	検証の結果
東大生チーム	７５回転	１００回転の距離から現在の 自転車のタイヤの回転数を計算
マス・ポヌペア	７５回転	１００回転の距離から現在の 自転車のタイヤの回転数を計算

正解…７５回転　マス・ポヌペア、東大生チーム正解！！

オーディナリィ型の自転車はペダルと前輪が直接ついているため、ペダルを１回転させると前輪も１回転する。 　オーディナリィ型の自転車の前輪が１回転するときの距離は 2×60π = 120π cm. つまり１００回転するときの距離は 120π×100 = 12000π cm 　現在の形の自転車で後輪が１回転するときの距離は 2×35π = 70π cm. つまり 12000π cm を進むときの後輪の回転数は 12000π／70π = 1200／7 回転 となる。 　現在の形の自転車はペダルと後輪がチェーンでつながっているため、ペダルを１回転させても後輪が１回転するとは限らない。ペダルと後輪の歯車の歯（ギア）の数によって決まる。 　後輪とペダルの歯車は同じ歯の数だけ進むため、後輪の歯車が１回転する間にペダルの歯車も歯が１４個分だけ進む。つまり後輪が１回転する間にペダルは 14／32 = 7／16 回転する。 　以上から後輪が 1200／7 回転する間のペダルの回転数を求めると 1200／7 × 7／16 = 1200／16 = 75 回転 となる。

　というわけで、実際に試験を受けてみよう。コマ大チームが訪れたのは公務員試験合格の実績で知られる専門学校ＬＥＣ。コマ大チームは年齢も４０代前後、職業もお笑い芸人。そんな人たちを採用してくれるのか…と尋ねたところ、５９歳まで採用資格を広めている所もあるそうです。さらに筆記試験もなく、面接のみで採用される所もある。
　それを聞いたら今からでも遅くないとコマ大チームそしてなぜか吉田プロデューサーも加えて面接の模擬試験をすることになった。自己ＰＲやエントリーシート、集団討論の内容を見て試験官が判断した合格基準を満たす人物は…ダンカン部長、そして無法松。意気揚々のコマ大チーム、今回は３チーム同時に公務員試験に挑戦する。

　問題は２問。最初の問題はこちら。

問題： 　図のように一辺の長さが２ａの正三角形と一辺の長さが３ａの正方形が並べてある。正方形が正三角形の周囲を滑らないように回るとき、図の点Ｐは次のどの軌道を描くのが妥当か答えなさい。

コマ大チーム	(4)
東大生チーム	(5)
マス・ポヌペア	(4)

正解…(3) 全員不正解！

点Ｐは図の番号に沿って移動して (3) の軌道をえがく。

問題： 　１万円札を次のＡ、Ｂ、Ｃのように並べたり、積み重ねたときの枚数を多い順番は次のどのようになるか答えなさい。 Ａ．１万円札を積み重ねて厚さが富士山の高さ（約 3800 ｍ）までにする。 Ｂ．１万円札を敷き詰めて、沖縄本島の面積（約 1200 平方キロ）までにする。 Ｃ．１万円札を横方向に並べて、赤道一周の長さ（約 40000 キロ）までにする。 (1) A＜C＜B (2) B＜A＜C (3) B＜C＜A (4) C＜A＜B (5) C＜B＜A

コマ大チーム	(2)	一万円札を折って厚さを求めて 計算して求めた
東大生チーム	(1)	紙を折って厚さを求めて 計算して求めた
マス・ポヌペア	(1)	１００枚で厚さ１ｃｍとみて 計算

正解…(1) 東大生チーム、マス・ポヌペア正解

Ａ．1万円札 100 枚で厚さ 1cm とする。3800m を cm で表すと 3800×100 = 3.8×10^5 cm となるため、１万円札の枚数は 3.8×10^5×100 = 3.8×10^7 枚 Ｂ．１万円札の大きさを縦 10cm 横 20cm とする。この時１万円札の面積は 200 = 2.0×10^2 cm^2。 沖縄本島の面積を cm^2 で表すと 1200 ×(1000×100)^2 = 1.2×10^13 cm^2 となるため、１万円札を敷き詰めたときの枚数は 1.2×10^13 / 2.0×10^2 = 6.0×10^10 枚 Ｃ．１万円札の横の長さを 20cm とする。赤道１周 40000 km を cm で表すと 40000×1000×100 = 4.0×10^9 cm。よって1万円札を横に並べたときの枚数は 4.0×10^9 / 20 = 2.0×10^8 枚 　以上の計算結果から枚数の多い順に並べると A＜C＜B (3.8×10^7 ＜ 2.0×10^8 ＜ 6.0×10^10) となる。

問題： 　２人が図の１６個の点の隣り合う２点を交互に線で結ぶ。正方形を作る線を引いた人がその正方形を自分のマスにすることができる。この時の必勝法を考えなさい。 　ただし、正方形を作った人は、続けてもう１本線を引くことができる。その線で正方形ができたら続けて線を引く。また斜めに線は引けない。 　上の例の場合（先手：赤線、後手：青線）後手が点線の部分を引くと正方形ができるため、囲まれた部分が後手のマスになる。これにより後手は続けて線を引くことができる。

　検証の甲斐もあり、余裕の表情を見せるコマ大チーム。東大生チームもある程度の必勝法を見つけている様子。マスはポヌさんと対戦していくが必勝法を見つけきれていない様子。最後に「これでいいのかな」と一言。解答は実際に竹内先生と対戦して行くことに。

問題： 　図のような立体「スフェリコン」の展開図を描きなさい。

私です。

　ポヌさんの代役で登場したのは、東大生チーム研究生の横内さん。あまり慣れないが計算はしている様子。図形が得意のマスだが、ちょっと悩んでいる様子。東大生は溝田さんが秒殺で展開図を求めた。あとは何やら計算を始めた。３組の展開図は以下の通り。

正解…東大生チームの展開図！

円の半径と高さが同じ円錐を２つ作り、底面で貼り合わせる。 ⇒２個の円錐の頂点を通る平面でこの立体を切ると、同じ形の立体が２個でき 　る。 ⇒１個の立体を９０度回転させて円錐の曲面が横に並ぶような位置に 　する。 ⇒先ほどの切り口は正方形であるため、９０度回転させても切り口を合わせる 　ことができる。 　回転させた立体と回転させていない立体を合わせると切り口が合わさり「スフェリコン」ができる。