問題：４人の探検家が暗い山道を歩いていると細くて崩れそうな橋を見つけました。 ４人はこの橋を渡りたいのですが…… 橋を渡るためには懐中電灯が必要であるが、懐中電灯は一つしかない。 橋は細くて崩れそうなため、一度に渡ることができる人数は２人まで。 ４人それぞれが橋を渡るまでの時間は以下の通り。 Ａ：１０秒　Ｂ：２０秒　Ｃ：５０秒　Ｄ：１００秒 １人で橋を渡るときは上の時間で渡ることができるが、２人で渡るときは時間が かかる人の時間に合わせなければならない。 （ＡとＤが渡るときはＤの１００秒に合わせる。 Ａはじっと我慢） 以上の条件のとき、４人が橋を渡り終えるまで最短で何秒かかるでしょう。また 渡り方も答えなさい。

　コマ大チームの検証は問題の通りに最短時間を探すことに。しかし橋は渡らず、箱根駅伝をモデルに１０か所の地点を通る往復区間を走る（？）Ａが一人で走るときは１歩１秒で１０歩が１０秒。一方Ｄが走るときは１歩が１０秒、１０歩を１００秒かけてゆっくりと進む。寒い中で速く、ときにゆっくり進みながら答えを出した。

　２組は意外にすんなりと解答を出した模様。マスは石井さんに新ネタを伝授（？）東大生チームは新ネタを伝授しながらも「もっと早くなるのでは」を試行錯誤を繰り返す。これが思わぬ解答を生み出した。

コマ大チーム	１７０秒	検証の結果
マス・ポヌペア	１７０秒	ＣとＤ２人で橋を渡らせる。
東大生チーム	１３０秒	まずＣとＤ２人で橋を渡らせる。 そのあとＣとＤが懐中電灯で誘導させて Ａ，Ｂを渡らせる。

正解…１７０秒　コマ大チーム、マス・ポヌペア正解！！

橋を渡る方法として以下の手順で行う（多分ほかに方法はないはず） ２人が渡る→１人が帰る（向こうに１人残る）→２人が渡る 　　　　　　　　　　　　→１人が帰る（向こうに２人残る）→２人が渡る ここで注意することは ・２人で渡るときは遅い人に合わせるため、必ず２０秒以上かかる。 ということである。 　もしＣ、Ｄがそれぞれ別に渡ったとしたら、２人が渡る３回のうち２回は５０秒、１００秒かかり、残りの１回は最低でも２０秒。帰る２回は最低でも１０秒かかるためこの方法で渡りきる最短の時間は ５０＋１００＋２０＋１０＋１０＝１９０秒

一方ＣとＤが２人一緒に渡るとしたら、２人が渡る３回のうち１回は１００秒かかり、残りの２回は最低でも２０秒。帰る２回は最低でも１０秒かかるためこの方法で渡りきる最短の時間は １００＋２０＋２０＋１０＋１０＝１６０秒 　しかし渡るときの時間が１００秒、２０秒、２０秒であり、帰るときの時間が１０秒、１０秒となる渡り方は作ることができない。 　１６０秒の次に短い１７０秒は渡るときの時間が１００秒、２０秒、２０秒であり、帰るときの時間が１０秒、２０秒となる。この条件を満たす渡り方は以下の２通りがある。 Ａ，Ｂが渡る（２０秒）→Ａが帰る（１０秒）→Ｃ，Ｄが渡る（１００秒） 　　　　　　　　　　　　→Ｂが帰る（２０秒）→Ａ，Ｂが渡る（２０秒） Ａ，Ｂが渡る（２０秒）→Ｂが帰る（２０秒）→Ｃ，Ｄが渡る（１００秒） 　　　　　　　　　　　　→Ａが帰る（１０秒）→Ａ，Ｂが渡る（２０秒） したがって、１９０秒より短い１７０秒で渡る方法があり、この方法が最短である。

問題：以下の９個の映画のタイトルを最初のアルファベットが次のタイトルに含まれるように並び替えなさい。 SONATINE DOLLS GETTING ANY? ZATOICHI KIDS RETURN TAKESHIS HANA-BI OUTRAGE BEYOND BROTHER

　全員同じ答えが出た。

SONATINE → DOLLS → KIDS RETURN → TAKESHIS → GETTING ANY? → OUTRAGE BEYOND → BROTHER → HANA-BI → ZATOICHI

GETTING ANY? → OUTRAGE BEYOND → SONATINE → DOLLS → KIDS RETURN → TAKESHIS → BROTHER → HANA-BI → ZATOICHI

９個の最初のアルファベットが、どの映画のタイトルに入っているかを矢印で表すと下の図の左の通りにある。図では映画のタイトルの最初の文字のみを表示。たとえば「Ｓ」は「SONATINE」を表し、 「Ｄ(DOLLS)」は「Ｓ」が含まれているため「Ｓ」から「Ｄ」に矢印が出ている。 　まず「Ｚ」から矢印が出ていないことから、「ZATOICHI」は並べ替えの最後になる。また他の文字からは必ず矢印が出ていることから「Ｇ→Ｏ」「Ｋ→Ｔ」の矢印が使われることが分かる。 　次に一つの文字に向かう正解の矢印は２個以上ないことから「Ｄ→Ｋ」「Ｂ→Ｈ」「Ｓ→Ｄ」「Ｈ→Ｚ」の矢印が使われることが分かる。 　この時点で「Ｓ→Ｄ→Ｋ→Ｔ」「Ｇ→Ｏ」「Ｂ→Ｈ→Ｚ」の３つのルートが使われることが分かる。「Ｓ」「Ｇ」のいずれかで始まる場合を考えると、どちらの場合でも問題の条件を満たすルートが作ることができる。

問題： 図のような３つの位置にそれぞれ１軒ずつ家が建っています。ここに道路を一本作るとき、以下の条件を満たす道路はどのようにできるか見つけなさい。 ・道路は直線。 ・道路から各家までの建設費用（道路までの最短距離）の合計は最小に抑える。

　問題を見てマスは一言「幅の広い道路を一本」すかさず中村先生が「道路は幅のない直線」と釘を指す。マスは三角形を描いて、円を描いて…と作図をすすめる。東大生チームはなが〜〜い式を書いていく。先に正解を出すのはどちらか？

コマ大チーム	距離の合計１．４ｍ	青と緑の家をむすんだ直線
マス・ポヌペア	作図を表示	三角形の２辺の中点を 通る直線。
東大生チーム	5/√13	青と緑の家をむすんだ直線

正解…青と緑の家を通る直線、距離は5/√13　東大生チーム正解！

平行な直線の中で距離の合計が最小になるものは、３点のうち１点を通り、３点からなる三角形を横切る（ or 三角形の辺となる）直線である。図の黒の矢印が指す直線がその直線。 証明： 　直線が３点の外にあるとき、３点に近づくように直線を平行移動させると３点との距離は短くなる（ 図の青の線が短くなる距離）ため、距離の合計は小さくなる。 　さらに直線を三角形を横切る方向に平行移動させると、１点は距離（赤の線）が長くなり、２点は距離（緑の線）が短くなる。よって距離の合計はさらに小さくなる。距離の合計は三角形を横切り、１点を通るところで最小になる。

１点を通る直線で傾きを変えていくと、３点の距離の合計が短くなるのは２点を通る直線になった時である。図の黒の矢印が指す直線がその直線。 証明： 　上の図のように１点を通る直線と、２点を通る直線について３点の距離を比べる。このとき２点を通る直線が赤の線の距離がなくなり、青の線が緑の線の距離に変わる。 　青の線が緑の線に変わると距離は長くなるが、赤の線の距離がより長いため、３点の距離の合計はより短くなる。

以上から３点のうち２点を通る直線と残り１点との距離を調べて、その中で最小の距離が求める直線と距離であることが分かる。 　３点からなる三角形を考えたとき、この距離は三角形の「高さ」に、直線上の２点の距離は「底辺」にあたる。三角形の面積は変わらないため「底辺」が長いほど「高さ」は短くなる。 三角形の面積と各辺の長さを求めると、 最も長い辺が青と緑の点を通る辺で、距離（＝高さ）は 5/√13 (≒1.39) となる。

問題：あなたは円の形をした池の中央でボートに乗っています。池の岸にはハンターがおり、彼から逃げなければいけません。以下の条件のときハンターに捕まらずに岸までたどり着けられる方法を考えなさい。 ・ハンターはボートの速さの４倍の速さで岸を走ることができる（池の中には入れない） ・あなたは岸に着けばハンターより速く走ることができる。 毎度のことながらハンターはあなたを捕まえるために最適なルートで追いかける。あなたに最も近いところにいるならばそれ以上は動かない。

　マスも東大生チームも螺旋を描くような逃げ方を考えている模様である。そんなとき東大生チーム木村さんが何やら思いついて、菊川さんも思わずニッコリ。さて何を思いついたのか？

コマ大チーム	少し方向を変えて、ハンターが動いたところで反対方向に曲がりながら進む
マス・ポヌペア	ハンターに背を向けるように進みながら、途中で方向を変えまっすぐ岸に進む
東大生チーム	螺旋を描くように岸に向かう

判定…全員不正解！

まず、ハンターに向かって池の半径の１／４の少し手前まで向う。このときハンターは動かない。 　その地点から池の中心を中心とする円に沿って移動する。この移動に合わせてハンターは追いかけるが、 池の半径の１／４の少し手前であるため、ハンターはあなたから最短の位置の岸には追いつけない。つまり少しずつハンターから離れていく。 　このまま動き続けると、ある地点でハンターと池の中心を挟んで反対の位置に来ることができる。この時点で岸に向かって進むとハンターは追いつけずに逃げることができる。

岸にまっすぐ向かいハンターから逃げ切るために必要な岸からの距離は、ハンターが進む池の半周分の４分の１でなければならない。 　池の半径を１として「少し手前」の距離をαとする。このときあなたが回る場所は池の中心から 1/4 - αとなり。岸までの距離は 1 - (1/4 - α) = 3/4 + α 　池の半周の長さは約 3.14 となるため 3/4 + α ＜ 3.14/4 ⇒ α ＜ 0.035 となる。

例えば池の半径が 10 ｍのとき、ハンターから逃げ切るためには、まず池の中心から 10 × (1/4 - 0.034) ＝ 2.16 ｍ の位置で回り続ける。そしてハンターと池の中心を挟んで反対の位置に来た時に岸に向かって 7.84 ｍ まっすぐ進むとハンターから逃げ切れる…といってもハンターとの差はわずか数ｃｍである。