コマ大チームは今回のテーマ「モビール」にふさわしい問題を作ることにした。モビール作家のアドバイスのもと、まずはバットやゴルフクラブでバランスを取る訓練をし、バランスを取りやすそうで取りにくい問題を考える。この問題が採用されれば、自分たちは問題を解かなくてよい……

　そんな淡い期待もむなしく、苦心して考えたコマ大チームの問題を中村先生は一蹴。今回はモビールのバランスについて書かれてある本から出題。

問題： 　図の図形を糸でつるして線分ＡＣが水平になるようにしたい。糸でつるす場所は 0 から何センチの位置になるか？ 　図の四角は一辺が１ｃｍの正方形である。灰色の正方形は穴が空いている。赤と白の色分けは重さとは関係がない。念のため…

コマ大チーム	３．３ｃｍ	サザエさんの家に似ていることから 「サザエ→3.3 A」と決定？
マス・ポヌペア	３．７５ｃｍ位	重心を計算
東大生チーム	３．１５ｃｍ	面積が半分になる位置を計算

重さが M1, M2 の物の重心の位置が基準点 0 からそれぞれ v1, v2 の位置にあるとする。 また、２個の物を合わせた物の重心の位置が基準点 0 から v の位置にあるとする。このとき 以下の式が成り立つ。 v × (M1 + M2) = v1×M1 + v2×M2 　一般に、重さが M1, M2, …, Mk である k 個の物の重心の位置が基準点 0 からそれぞれ v1, v2, …, vk の位置にあるとする。 また、k 個の物を合わせた物の重心の位置が基準点 0 から v の位置にあるとする。このとき 以下の式が成り立つ。 v × (M1 + … + Mk) = v1×M1 + … + vk×Mk

基準となる 0 の位置を問題の屋根のてっぺんの位置にする。また、問題の図形を右の図のように５個に分解する。 パーツ 重心の位置 重さ(＝面積) 位置×重さ a. -3/2 3 -9/2 b. 0 9 0 c. 1/2 8 4 d. 3/2 1 3/2 e. 5/3 1/2 5/6 以上から ・重さの合計：M1+M2+ … +M5 = 43/2 ・位置×重さの合計：v1×M1 + … + v5×M5 = 11/6 となるため、問題の図形の重心の位置は 11/6 × 2/43 = 11/129 　しかし、問題では基準の 0 の位置がずれていたため、ずれた距離 3 を加える。 11/129 + 3 = 398/129 ≒ 3.085 この値が釣り合う位置になる。

問題：下の図の状態から2人が緑が先手、赤が後手でゲームを行う。互いに一個のコマを別の丸の位置に線に沿って移動させていく。他のコマを飛び越えて動かすこともできない。また他のコマと重ねることもできない。 相手を動かせない状態にしたら勝ちである。 　このゲームの戦法とゲームが終わるまでの最低手数を求めなさい。

　コマ大チームと同じく、実際にコマを動かしながら必勝法を探す２組。私もノートに何個も図を描いて考えているが、これという必勝法は見つからず。どうやら２組も同じように悩んでいる。

コマ大チーム	６手で勝敗が付く。先手が「必敗」？
マス・ポヌペア	６手で勝敗が付く。実戦での結果
東大生チーム	６手で勝敗が付く。５手目でミスを すれば、という条件

３手までは以下の手順でしかない（左右反転も含む） この次の後手の手順で場合分けをする。

この場合は勝負がつかない。

この場合は青の手順（５手）に進めると最短で６手目で先手の負けになる。 しかし後手が６手目を間違えると７手目で後手の負け。さらに先手が７手目を 間違えると３手目に戻ってしまう（この手順は省略）

問題：ボウリングでストライクを８回出して、しかもガターを一回も出さないのに得点が１００点未満となりました。 　このときのスコアを求めなさい。 　ストライク、スペアを取ったフレームの得点は以下の通り。 ストライクを取った場合：１０点＋その後の２投の得点がそのフレームの得点 スペアを取った場合：１０点＋その後の１投の得点がそのフレームの得点

　オープニングでボウリングはからっきし駄目と話していた東大生瀬戸山さん。しかし問題をあっさり解いてしまった。マスもしっかり確認してから正解を導いた。ちなみに私はずっと悩んでいた。答えは出せず。今回は見事に正解がそろった。

コマ大チーム	９９点	プロボウラー鈴木さんが登場し 解答のスコアを実際に出した。
マス・ポヌペア	９９点	２連続ストライクを動かすと 何通りかできるかも、と一言
東大生チーム	９９点	９フレームはストライクにならない 所から考えた

　正解はもちろん９９点で全員正解。ある程度見当を付けて答えを出すこともできるが、理論的に１００点未満の投げ方を絞り込むことができる。

ストライクを１回以上続けてとった時の点数を調べると つまり、ストライクを４回以上続けた場合、もう一回ストライクを取ると必ず１００点以上になる。

１〜９フレームと１０フレームの３投の合計１２個の中にストライク８個を並べると、残りの４個分はストライク以外になる。 　もし１０フレームの３投目がストライクでないとすると、残りの１１個にストライク８個を並べることになる。４連続以上のストライクを取らないように並べるには ・３連続ストライク２回＋連続しないストライク２回 ・２連続ストライク４回 のいずれかになるが、いずれの場合でも１００点を超えてしまう。このため１０フレームの３投目はストライクでなければならない。

１０フレームの３投目でストライクを取るためには「２投目でスペアを取る」または「３連続ストライク」のいずれかでなければならない。 　「２投目でスペアを取る」ときは１０フレームはストライクは１個しか取れない。このとき１〜９フレームでストライク７個を並べると、かならず１００点を超えてしまう。 　したがって、１０フレームは「３連続ストライク」である。このとき１０フレームの得点は３０点である。

９フレームもストライクを取ると、９，１０フレームで合計６０点取る。残りストライクが４個残っているため、必ず１００点以上になる。したがって９フレームはストライクを取れない。１〜８フレームでストライク５個を並べると、 ２連続ストライク１回＋連続しないストライク３回 という構成でなければ１００点以上になる。 　これらの順番を調べると、いずれの場合でも最終スコアは９９点に抑えられることがわかる。

ストライクを取るフレームは普通に投げれば（？）大丈夫だが、ストライクを取れないフレームで実際にガターなしで１点のみを取れるか考える。 　１投目に左右両端のうち一本を倒す。そのあと２投目は倒したピンのところを通るように投げればガターにならずに済む。 　この結果問題の条件を満たし、９９点を取ることができる。

問題：下の数字の表のうち縦の列、横の列いずれも３個ずつになるように数字をいくつか選び出し、それらの数字にマイナスを付けます。 　このとき、すべての数字の合計はいくつになるでしょう？

　残ったお茶はすべてブレンド。東大生も飲んだが悪くはないみたい。問題を解くためには適当に数字を選んで計算すれば出てくるが、その解答を理論的に求めるにはどうすればよいのか。先ほどのブレンド茶の効果なのか東大生チームは着実に計算をする。一方今回１人で挑むマス北野。黙々と計算を進める。

コマ大チーム	５６９	検証の結果
マス北野	５２０	数字全部の合計の１／４になる
東大生チーム	５２０	数字全部の合計の１／４になる

正解…５２０　マス北野、東大生チーム正解！

問題の表を２つの表に分ける。２つの表の同じ位置の数を足し合わせていくと問題の表ができる。 マイナスを付けた数字についても、２つの表の同じ位置の数にマイナスを付ければそれらの合計で表すことができる。 　例えば上の表で「49」に丸がついているが、２つの表では「48」と「1」に分かれている 　このため、表全体の数の合計は２つの表のそれぞれの数の合計を合わせたものになる。

１番目の表はそれぞれの横の列は同じ数字であるため、横の列の数字の合計はプラスとマイナスの数が３個ずつ打ち消されて、（プラスの数×２）となる。 　よって１番目の表の数の合計は 0×2 + 8×2 + … + 56×2 = 8×(0 + 1 + … + 7) ×2 = 448

２番目の表はそれぞれの縦の列は同じ数字であるため、縦の列の数字の合計はプラスとマイナスの数が３個ずつ打ち消されて、（プラスの数×２）となる。 　よって２番目の表の数の合計は 1×2 + 2×2 + … + 8×2 = (1 + 2 + … + 8) ×2 = 72 以上から表全体の数字の合計は 488 + 72 = 520 である。

問題：底面の半径が１０ｃｍ、高さが２０ｃｍの円錐があります。この円錐に内接する円柱で体積が最大のものの底面の半径を求めなさい。

　マスと東大生チームが鉛筆を走らせている、その横でコマ大チームが湯呑に水を入れて水の量をはかっていく。この問題、普通に計算していけば答えを出すことができる。しかし、中村先生は「もっと簡単に答えを出す方法がある」とのこと。早々と答えを出した東大生チーム。別解答を出すことができるのか？

コマ大チーム	４．２ cm	検証の結果。ダンカン部長の作った 湯呑が水の量が多かった。
マス北野	分かりません！	体積を x の関数で表したものの そこからはさっぱり…
東大生チーム	２０／３ cm	体積を x の関数で表し、 そこから微分を使い計算。

正解…２０／３ cm　東大生チーム正解！！