「コマ大数学科」に挑む・１３年７月
最終更新日２０１３年８月１７日
フジテレビで深夜に放送されている「コマ大数学科」の問題に解く様子をご紹介します。数学をやってきたので簡単に解ける…と思ったものの…その奮闘振りをお楽しみに。なお、福岡での放送は二週間遅い模様です。そこら辺はご勘弁を。| 投影図 Part 2 (7/5) |
| 資格スペシャル(7/12) |
| 英語で数学 Part 6 (7/19) |
| ものさし(7/26) |
ご意見がありましたらtfujisaki2006@yahoo.co.jpまでお願いします。
「投影図 Part 2 (7/5)」
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問題：ある立体を前、上、横から見た図が以下の３つの図形に見えました。この立体の体積を求めなさい。
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前回に続いて「明大チーム」マス・木村ペア。図形といえばマスのお得意分野。早くも求める立体の図を探し出した。しかし今回の東大生チーム、杉山・溝田ペアは明大チームが答えを出すよりも早く答えを出していた。久しぶりのがっぷり四つの戦い。
| コマ大チーム | ３５２立方センチ | 検証の結果。 ブロックの体積を利用した |
| 明大チーム | ３３６立方センチ | 四角の枠から棒が出ている ような立体を考えた。 |
| 東大生チーム | ３３６立方センチ | 四角の枠から棒が出ている ような立体を考えた。 |
正解…３３６立方センチ 明大、東大生チーム正解！！
今回は立体を描くことができれば体積はちょちょいのちょいで求められる…はず。一応私も正解でした。
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直方体の寸法は ２cm×２cm×１２cm であるため、立方体は６個作られる。 それぞれの立体は２個ずつあるため、問題の立体を２cm×２cm×２cm の立方体に分けると (6 + 15) × 2 = 42 個分になる。２cm×２cm×２cm の立方体の体積は ８立方ｃｍであるため、問題の立体の体積は ８ 立方cm×４２個 = ３３６ 立方cm である。 |
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問題：下の図に沿ってＡ，Ｂの２通りの投資方法を考えます。より大きい利益を得られる
投資方法はどちらで、期待利得がいくらか求めなさい。
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すっかり息の合った「明大チーム」着々と計算を進めていく。一方東大生チームも負けてはいません。長い計算式を書いていきました。解答は以下の通り。
| コマ大チーム | Ａ．215 億の利益 | 利益から投資額を引いた金額 |
| 東大生チーム | Ｂ．28.6 億の利益 | 確率と利益を掛けて、利益を計算 |
| 明大チーム | Ａ．75.6 億の利益 | 右の利益を計算し、追加投資するか を選択する。同様の計算を続ける |
正解…Ａ．75.6 億の利益 明大チーム正解！！
株式も行っている木村さん。着実に計算をして見事正解を出した。ここでのポイントは「追加投資をするか選択する」というところです。
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Ａの投資方法で 60 億の追加投資をした場合、利益の期待値を計算すると
0.4 × 300 億 + 0.6 × 70 億 = 120 億 + 42 億 = 162 億 である。しかし 60 億の追加投資をしているため、期待利得は 162 億 - 60 億 = 102 億。つまり追加投資をすると 102 億が得られて、投資しなければ 70 億 が得られる、ということになる。このため「追加投資をする」方がより多くの利益を得られることがわかる。
0.3 × 102 億 + 0.7 × 100 億 = 30.6 億 + 70 億 = 100.6 億 である。しかし 25 億の投資をしているため、期待利得は 100.6 億 - 25 億 = 75.6 億 となる。 |
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同様にしてＢの投資方法を考える。まず
40 億の追加投資をした場合、利益の期待値を計算すると
0.2 × 200 億 + 0.8 × 60 億 = 40 億 + 48 億 = 88 億 である。しかし 40 億の追加投資をしているため、期待利得は 88 億 - 40 億 = 48 億。つまり追加投資をすると 48 億が得られて、投資しなければ 120 億 が得られる、ということになる。このため「追加投資をしない」方がより多くの利益を得られることがわかる。
0.5 × 80 億 + 0.5 × 120 億 = 40 億 + 60 億 = 100 億 である。しかし 30 億の投資をしているため、期待利得は 100 億 - 30 億 = 70 億 となる。 |
| 以上から期待利得が高い投資方法はＡで期待利得は 75.6 億となる。 |
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「英語で数学 Part 6 (7/19)」
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Question: A sequence consists of 2010 terms. Each term after the first term is 1 larger than the previous term. The sum of the 2010 terms is 5307. When every second term is added up, starting with the first term and ending with the second last term, the sum is? |
「英語で数学」シリーズも６回目。２組は簡単に答えを出せる…と思ったら、２組とも苦戦。東大生チームは翻訳はできたが、肝心の計算で止まってしまった。一方の明大チームは計算は出来上がっているが、翻訳で今一つ悩んでいる模様。英文も数学もこなしたのはどちらでしょうか？
| コマ大チーム | ３０１５ | -1001 から 1008 までの数を一つ飛ばしで足していった。 |
| 明大チーム | ３１５６ | 数列の偶数番目と奇数番目の数を 比較して計算した。 |
| 東大生チーム | 888654/335 | 数列の初項を求めて計算をしたが、間に合わず。 |
正解…２１５１ 全員不正解！！
何と全員が不正解。しかし明大チームは計算途中で２１５１が出てきていた。偶然か必然か？その前にまず問題の日本訳です。
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問題： ある数列は２０１０個の項からなります。 ２番目以降の項はひとつ前の項より１大きい値です。 また この２０１０個の数の和は５３０７です。 この数列の１番目の項から１個飛ばした項の数を順に 足していき、最後から２番目の項の数（つまり奇数番目の数） まで足していったとき、その和はいくつでしょう？ |
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数列の１番目の項の数をＡとすると、この数列は
Ａ、Ａ＋１，Ａ＋２、…、Ａ＋２００９ となる。この２０１０個の数の合計は
Ａ＋（Ａ＋１）＋（Ａ＋２）＋…＋（Ａ＋２００９）
２０１０Ａ＋２０１９０４５＝５３０７ |
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この数列の１番目から３番目、５番目…の数を足していき、２００９番目までの合計を求めると
Ａ＋（Ａ＋２）＋（Ａ＋４）＋…＋（Ａ＋２００８）
２０１０Ａ＋２０１８０４０ |
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数列を a1, a2, ..., a2010 と置く。1番目, 3番目, …, 2009番目の項を足した値をＡとする。
Ａ= a1 + a3 + a5 + ... + a2009 このとき、2 番目、4 番目、…、2010 番目の項はひとつ前の項に 1 足した値であるため、
a2 + a4 + a6 + ... + a2010 |
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上の計算から数列の奇数番目の項の合計がＡ、偶数番目の項の合計が Ａ + 1005
であることがわかる。数列の 2010 個の数の合計が 5307 であるため、
Ａ＋(Ａ＋1005) = 5307 |
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「ものさし (7/26)」
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問題：５０ｃｍの板に１０か所目盛をつけて、１ｃｍから５０ｃｍまですべての長さを測れるものさしを作りなさい。 長さを測るときは（両端を含め）２か所の目盛の間隔で測り取るものとする（１０ｃｍを測るために５ｃｍ間隔の目盛を２回使う、という方法はダメ）
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明大チームと東大生チーム。いずれも慎重にものさしの目盛を考えていくが、コマ大チームの検証のように途中で測れなくなってしまう。すっかり詰まってしまった２組に中村先生からヒントが出された。「ものさしの中央には同じ長さの目盛が５個入ります」このヒントで何やら閃いたのか２組が計算を再開。はたしてものさしは出来上がったのか？
| 明大チーム | 1,2,4,5,5,5,5,5,7,9,2 | 5ｃｍ の目盛を５個入れた。 しかし 8ｃｍ が測れない。 |
| 東大生チーム | 8,3,1,5,5,5,5,5,2,3,8 | 5ｃｍ の目盛を５個入れた。 しかし 49ｃｍ が測れない。 |
| コマ大チーム | 1,1,1,20,5,4,4,4,4,3,3 | 検証の結果。 50cm まできちんと測れた。 |
正解…コマ大チームの目盛は正解！ でももう一つ目盛の付け方がある。
今回の問題、正解を出すためにはコンピューターでも使って一つ一つ調べていくしか方法はない、とのこと。ではもう一つの目盛はどのようにつければよいのでしょうか？
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1,2,3,7,7,7,7,7,4,4,1 これがもう一つの目盛の付け方 |
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1,2,3,7,7,7,7,7,4,4,1 について、１目盛分で測れる長さ、
２目盛分で測れる長さ…を書き上げていく。
１目盛分： 1, 2, 3, 7, 7, 7, 7, 7, 4, 4, 1 |
1,1,1,20,5,4,4,4,4,3,3 について、１目盛分で測れる長さ、
２目盛分で測れる長さ…を書き上げていく。
１目盛分： 1, 1, 1,20, 5, 4, 4, 4, 4, 3, 3 |
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