家は平均より少ないなあ。まだまだだな…

　平均とは「あるデータの総和をデータの数で割ったものです」例えば５つのデータ

３０，４０，５０，６０，７０

（３０＋４０＋５０＋６０＋７０）／５＝２５０／５＝５０

２０，１００，２０，９０，２０

（２０＋１００＋２０＋９０＋２０）／５＝２５０／５＝５０

５，５，５，５，２３０

（５＋５＋５＋５＋２３０）／５＝２５０／５＝５０

５万円，５万円，５万円，５万円，２３０万円 の平均は ５０万円

　なぜこれらのようなおかしな「平均」が出てくるのでしょう？それは

平均は本来、バランスよく分散されたデータに対して意味がある

　平均を求めるのは簡単です。小学生でもできます。そのため、どんなデータにも平均を求めていったため、「バランスの悪い」データに対してはただ計算して求めただけで、それが意味を持つものにならないわけです。新聞を読んで「まだまだだなあ…」と考えた人たちはおそらく最後のデータの「５」に相当する人たちだと思います。大抵の場合は「２３０」に当たる値によって平均が流されているかもしれませんので、あまり気になさらずに…

　「平均だけでは分かりにくいバランスの悪いデータは何を見れば良いか」という疑問が起きるかもしれません。様々なものがありますがわかりやすいものをいくつか紹介します。

• メジアン…データを大きい順（小さい順でも同じですが）に並べたとき、真ん中に当たる値
• モード…データの中で最も多く現れている値

？	？
？	？

上のように２×２の形にマス目があります。この「？」の中に１から４までの数を一つずつ入れていきます。ただし以下の条件があります。

・右にある数字は左にある数字より大きい。
・下にある数字は上にある数字より大きい。

１ ２ ３ ４

１ ３ ２ ４

この二つは条件を満たします。

１ ２ ４ ３

１ ４ ３ ２

この二つは赤の部分が条件を満たしていません。

すぐに分かりますが、１から４をマス目に入れて、かつ青で書かれた二つの条件を満たすものは、上に挙げた二つの例以外にはありません。

では、今度は３×２のマス目で考えてみます。

？	？	？
？	？	？

今度は１から６までの数を一つずつマス目に入れていきます。もちろん上の条件を満たすように入れます。さて数を入れる方法は何通りあるでしょうか？

１ ２ ３ ４ ５ ６

１ ２ ４ ３ ５ ６

１ ２ ５ ３ ４ ６

１ ３ ４ ２ ５ ６

１ ３ ５ ２ ４ ６

？	？	？	？
？	？	？	？

今度は１から８までの数を入れていきます。各マス目に条件を満たすように数を入れる方法は何通りあるでしょうか？答えは…

？	？	？	？
？	？	？	？

前回残した問題は、上の４×２のマス目に１から８の数字を入れて

・（同じ横の列の）右にある数字は左にある数字より大きい。
・（同じ縦の列の）下にある数字は上にある数字より大きい。

　まず、１と８はそれぞれ次のような位置に入ることが分かります。

１	？	？	？
？	？	？	８

そして、２は赤いクエスチョンマークの位置のどちらかに入ることも分かります。そこから後は…一つ一つ書いていくしかないようですね。そうすると

１ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８		１ ２ ３ ５ ４ ６ ７ ８		１ ２ ３ ６ ４ ５ ７ ８		１ ２ ３ ７ ４ ５ ６ ８
１ ２ ４ ５ ３ ６ ７ ８		１ ２ ４ ６ ３ ５ ７ ８		１ ２ ４ ７ ３ ５ ６ ８		１ ２ ５ ６ ３ ４ ７ ８
１ ２ ５ ７ ３ ４ ６ ８		１ ３ ４ ５ ２ ６ ７ ８		１ ３ ４ ６ ２ ５ ７ ８		１ ３ ４ ７ ２ ５ ６ ８
１ ３ ５ ６ ２ ４ ７ ８		１ ３ ５ ７ ２ ４ ６ ８		…		…

　前回からの結果をまとめると…

２×２のマス目に１から４を２つの条件を満たすようにいれる方法は ２通り。
３×２のマス目に１から６を２つの条件を満たすようにいれる方法は ５通り。
４×２のマス目に１から８を２つの条件を満たすようにいれる方法は １４通り。

　では、これまでの結果から５×２のマス目の場合について考えることができるでしょうか。つまり

５×２のマス目に１から１０を２つの条件を満たすようにいれる方法は ？？通り。

ということです。

　「これも一つ一つ調べないといけないのか…人生に近道はないのか…」と悲観的にならなくても結構です…えっ？なってない？…それはそれで良いことです。実はこれらの数には次のような法則があるのです。

２×２のマス目の場合…（４×３）／（３×２×１）＝２
３×２のマス目の場合…（６×５×４）／（４× ３×２×１）＝５
４×２のマス目の場合…（８×７×６×５）／（５×４×３×２×１）＝１４

…ということは、５×２のマス目に１から１０を２つの条件を満たすようにいれる方法の個数は

（１０×９×８×７×６）／（６×５×４×３×２×１）＝４２？？

本当に４２通りなのでしょうか。実際に書き並べてみま…でもたくさんあるので止めます。時間があれば調べてみてください（無責任でごめんなさい） さて、このまま６×２の場合、７×２の場合…と計算を続けると

１３２、４２９、１４３０、４８６２…

という数列ができます。この数列の数を「カタラン数」と呼びます。実はこの数はもう一つ別の場面でも出てきます。その話はまた次回に…

一言：高校の数学を覚えている方へ…カタラン数の１番目を１、２番目を２、３番目を５…という風に番号をつけると、カタラン数の n 番目の数は _2nC_n/(n+1) と書き表すことができます。