アフィン平面とは何なんだ？その１

条件１：異なる２点に対して、その２点を通る線がただ１本だけ存在する。 条件２：線ＬとＬ上にない点Ｐに対して、Ｐを通りＬと交わらない線Ｍがただ１本だけ存在する。 条件３：１本の線の上にない３点がある。

　この定義を見て「当たり前だろ」と思った方もいると思います。平面上の点と直線は上の条件を満たします。つまり「平面上の点と直線はアフィン平面」です。ここで「平面上の点と直線」を座標を使って表してみます。

• 平面上の点　　⇒⇒⇒　(x, y)　　　　　　　x, y：実数
• 平面上の直線　⇒⇒⇒　 ax + by = c 　　a, b, c：実数、a = b = 0 ではない

• ２つの点 (p1, q1), (p2, q2) を通る直線は (q2 - q1) x + (p1 - p2) y = p1 * q2 - p2 * q1
  である。(上の式に間違いがありました。訂正します 2010/8/31)
• 点 (p1, q1) を通り、直線 a x + b y = c と平行な直線は a x + b y = a * p1 + b * q1 である。
• １本の直線の上にない３点として (0, 0), (0, 1), (1, 0) がある。

　例１：「実数」→「有理数」と変えたとき、アフィン平面の１，２，３の条件をすべて満たします。つまり

• 点：(x, y)　　　　　x, y：有理数
• 線：ax + by = c 　　a, b, c：有理数、a = b = 0 ではない

　例２：「実数」→「整数」と変えたとき…はアフィン平面になりません。条件２が成り立ちません。点 (1, 1) を通り、y = 0 と交わらない線は

y = 1, 2x-y = 1, 3x-y = 2

• 点：(x, y)　　　　　x, y：複素数
• 線：ax + by = c 　　a, b, c：複素数、a = b = 0 ではない

　以上３つの例を挙げて、アフィン平面になる場合とならない場合を書きました。なぜ アフィン平面になったりならなかったりするか、というと、実数、有理数、複素数の３つの数の集合は割り算の答えは常にそれぞれの数の集合に入りますが、整数の場合は割り算の答えが必ず整数となるとは限りません（このような性質の数の集合を「体（たい）」と呼んでいます）

　３つのアフィン平面の例を挙げましたが、ここでそれぞれの例の「線」のあたるものを調べると次のような関係になります。

ものすごく抽象的な概念です。

アフィン平面とは何なんだ？その２

点の集合：四面体の頂点 線の集合：四面体の辺

• ２つの点を通る線はその２点を通る辺である。
• 一つの線Ｌとその上にない点Ｐに対して、Ｌと交わらず点Ｐを通る線はＬと同じ色のもう一つの辺 である。
• １本の線の上にない３点として一つの面の３つの頂点がある。

点の集合：図の９個の点 線の集合：図の１２本の線

　これらの「小さなアフィン平面」は偶然に見つけたものではありません。実はこれらのアフィン平面は上で使われた「平面上の点と直線」の座標表現の「実数」の部分を変えること作ることができます。例えば２番目の例の９個の点のアフィン平面は次のような点と線の表し方で作ることができます。

• 点：(x, y)　　　　　x, y：0, 1, 2 のいずれか
• 線：ax + by = c 　　a, b, c：0, 1, 2 のいずれか、a = b = 0 ではない

mod 3 での 足し算 ＋ 0 1 2 0 0 1 2 1 1 2 0 2 2 0 1

mod 3 での 掛け算 × 0 1 2 0 0 0 0 1 0 1 2 2 0 2 1

　この例の場合、点は (0, 0), (0, 1), … (2, 1), (2, 2) の９個あります。 また直線は x = c, x + y = c, x + 2y = c, y = c (c：0, 1, 2) と全部で１２本になります。今の場合では「x + 2y = 1」の線の上には (1, 0), (2, 1), (0, 2) の３点があります。これらの点と直線の関係を図で表すと以下の通りになります。

• 点：(x, y)　　　　　x, y：0, 1 のいずれか
• 線：ax + by = c 　　a, b, c：0, 1 のいずれか、a = b = 0 ではない

mod 2 での 足し算 ＋ 0 1 0 0 1 1 1 0

mod 2 での 掛け算 × 0 1 0 0 0 1 0 1

　何度も書きましたがアフィン平面の「線」はこれまでのような平面や空間の中の直線や曲線のイメージではなく、単なる「点の集合」として考えています。そのため、「線」の上の点の数が２，３個しかない場合もありますし、各点が離れた位置にあってもアフィン平面の条件を満たせば「アフィン平面の線」として考えることができます。

　まず (mod 4) での計算の表を作ります。

mod 4 での 足し算 ＋ 0 1 2 3 0 0 1 2 3 1 1 2 3 0 2 2 3 0 1 3 3 0 1 2

mod 4 での 掛け算 × 0 1 2 3 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 2 0 2 0 2 3 0 3 2 1

　x = 0 上の点の集合：(0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 3)
　x + 2y = 0 上の点の集合：(0, 0), (0, 2), (2, 1), (2, 3)

このように異なる２点を通る線が２本存在することが分かります。これはアフィン平面の条件の１番目「異なる２点に対して、その２点を通る線がただ１本だけ存在する」を満たさないため、この線の作り方ではアフィン平面を作ることが出来ません。この作り方では上の例以外にも異なる２点を通る線が２本存在することがあります。

　では、なぜ mod 2, mod 3 の時にはアフィン平面を作ることができたのに、mod 4 ではアフィン平面ができなかったのでしょうか？その原因は上の掛け算の表にあります。

mod 4 での 掛け算
×		0	1	2	3
0		0	0	0	0
1		0	1	2	3
2		0	2	0	2
3		0	3	2	1

実数、有理数、複素数の３つの数の集合は割り算の答えは常にそれぞれの数の集合に入りますが、整数の場合は割り算の答えが必ず整数となるとは限りません

　しかし、この計算の表をちょっと書き換えることによって１６個の点からなるアフィン平面を作ることができます。

mod 4 での 足し算 ＋ 0 1 2 3 0 0 1 2 3 1 1 2 3 0 2 2 3 0 1 3 3 0 1 2

mod 4 での 掛け算 × 0 1 2 3 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 2 0 2 0 2 3 0 3 2 1

⇒ ⇒ ⇒

新しい 足し算 ＋ 0 1 2 3 0 0 1 2 3 1 1 0 3 2 2 2 3 0 1 3 3 2 1 0

新しい 掛け算 × 0 1 2 3 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 2 0 2 3 1 3 0 3 1 2

白、青、赤、緑の丸はそれぞれ c=0,1,2,3 の時に通る４点を表す。 　例えば「x+2y=1」を通る点は 0 ＋ 2 × 3 = 0 ＋ 1 = 1 1 ＋ 2 × 0 = 1 ＋ 0 = 1 2 ＋ 2 × 2 = 2 ＋ 3 = 1 3 ＋ 2 × 1 = 3 ＋ 2 = 1 より、 (0, 3), (1, 0), (2, 2), (3, 1) （左下の図の青の４点） の４点である。

　話はまだまだ続きます。これまで mod 2, mod 3 についてアフィン平面を作り、mod 4 の時は表を変えることでアフィン平面を作ることができました。このあと mod 5, mod 6 …と続けていくとどうなるのでしょうか？これについては次の結果が知られています。

mod n の n	2	3	4	5	6	7	8	9	10
アフィン平面	○	○	△	○	×	○	△	△	×
○： mod を使ってアフィン平面ができる △： 表を変えてアフィン平面ができる ×： アフィン平面ができない

有限個の点からなるアフィン平面（小さなアフィン平面）の点の数は「素数の偶数乗（上の表の n の２乗）」である。

　しかし、この法則必ず成り立つか分かっていません。いわゆる未解決問題です。実際、点の数が 12^2 = 144 個のアフィン平面ができるかできないか今の所分かっていません。たった１５０個程度の点でも分からないものがあります。番組ではさらりと話していましたが、今回のような奥の深い話が潜んでいたのです。とても３０分では解説できないでしょう。