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「算数」と「数学」の間で
最終更新日２００８年１１月２３日
人々の頭を悩ませ続けている算数と数学についてあれこれそれどれ書いています。一応難しい話は抜きで…というつもりで書いています。お茶もお菓子もありませんがごゆっくりお過ごしください。ご意見がありましたらtfujisaki2006@yahoo.co.jpまでお願いします。ここでは 「オイラーの定理をもっと知る」「オイラーの定理をもっと知る…の続き」「オイラーの定理をもっと知る…の続きの続き」「オイラーの定理の謎を解明」の４編を掲載しています。
オイラーの定理をもっと知る
「コマネチ大学数学部に挑む」の中で「オイラーの定理」という言葉が登場しました。よく知られた定理だと思いますが改めて定理を書いておきます。
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凸多面体の頂点の個数をＶ、辺の個数をＥ、面の個数をＦと置いたとき
Ｖ－Ｅ＋Ｆ＝２ が成り立つ。 |
ところで、このオイラーの定理の「点と線」バージョンをご存知でしょうか。オイラーの定理という名前ではないですが、次のような定理があります。
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頂点とその頂点を結ぶ辺からなる図形がひとつながりで辺同士が交わらないとき、頂点の個数をＶ、辺の個数をＥ、辺で囲まれた部分の個数をＦと置いたとき
Ｖ－Ｅ＋Ｆ＝１ が成り立つ。 |
まず多面体の一つの面を取ってみます。そうすると頂点と辺のつながりをそのままにぺったんこにできます。
（頂点の数）－（辺の数）＋（辺で囲まれた部分の数）＝１
さてこの図形と最初の多面体の頂点、辺、面の数を比べてみます。頂点と辺の数は変わりません。一方、多面体の面の数は最初に一つ取り除いたため、上の図形での辺で囲まれた部分より１多いです。ということは上の式の両辺に１を足します。そうすると（頂点の数）－（辺の数）＋（（辺で囲まれた部分の数）＋１）
＝（頂点の数）－（辺の数）＋（面の数）
＝２
これでオイラーの定理が証明できました。
では、問題です。「コマ大」のページで書いていました「穴の開いた多面体」で上の式を計算するといくつになるでしょう。
申し訳ございません。考える多面体は右の図のような上下の面が出っ張っている多面体に変更して考えてください。そうしないと以降の話に支障が出ます。
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オイラーの定理をもっと知る…の続き
前回の多面体
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上の多面体の頂点の数は１６、辺の数は３２、面の数は１６（穴の中の辺と面の数を忘れずに）以上から
（頂点の数）－（辺の数）＋（面の数）＝ １６－３２＋１６＝０ |
というわけで答えは「０」でした。
ではこの多面体の場合、なぜ０になるか証明してみます。まず穴の両端をふさいで見ます。
Ｖ－Ｅ＋Ｆ＝２
が成り立ちます。次に穴をふさぐ前と後で頂点、辺、面の数がどのように変化したから見てみます。頂点の数…これは変化なし。
辺の数…穴の中に隠れている辺４本があったので穴の開いた多面体での辺の数はＥ＋４本
面の数…穴をふさいだ面２つが無くなり、穴の中に隠れていた面４つが現れたので穴の開いた多面体での面の数はＦ＋２本
以上から
（頂点の数）－（辺の数）＋（面の数）
＝Ｖ－(Ｅ＋４）＋（Ｆ＋２）
＝Ｖ－Ｅ＋Ｆ－２
＝０
しかし、問題は続きます。
次のように穴が２つ開いている多面体を考えると（頂点の数）－（辺の数）＋（面の数）はいくつになるでしょう？
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さらにもう１問
次のようにＴ字の形をした穴が開いている多面体で（頂点の数）－（辺の数）＋（面の数）を計算するといくつになるでしょう？
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オイラーの定理をもっと知る…の続きの続き
前回出した問題の一つ目は次の立体の（頂点の数）－（辺の数）＋（面の数）を計算するといくつになるか、というものでした。
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Ｖ－Ｅ＋Ｆ＝０
となることが分かっています。始めの「穴がニつ」の立体とこのの「穴が一つ」の立体の頂点、辺、面の数の差をみます。頂点の数…これは変化なし。
辺の数…穴の中に隠れている辺４本があったので穴の開いた多面体での辺の数はＥ＋４本
面の数…穴をふさいだ面２つが無くなり、穴の中に隠れていた面４つが現れたので穴の開いた多面体での面の数はＦ＋２本
つまり
（頂点の数）－（辺の数）＋（面の数）
＝Ｖ－(Ｅ＋４）＋（Ｆ＋２）
＝Ｖ－Ｅ＋Ｆ－２
＝－２
次に前回の２つ目の問題
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| 立体 | 頂点の数－辺の数＋面の数 |
| 「穴がない」立体 | ２ |
| 「穴が一つ」の立体 | ０ |
| 「穴が二つ」の立体 | －２ |
| と、いうことは… | |
| 「穴が三つ」の立体 | －４ |
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Ｖ－Ｅ＋Ｆ＝２
始めの「穴がＴ字」の立体とこの多面体の頂点、辺、面の数の差をみます。
 穴の中の形の頂点、辺、面をそれぞれ青で色付けしました。 |
辺の数…穴の中に隠れている辺１２本があったので穴の開いた多面体での辺の数はＥ＋１２本
（上の図では見えない位置に辺が１本ある）
面の数…穴をふさいだ面３つが無くなり、穴の中に隠れていた面７つが現れたので穴の開いた多面体での面の数はＦ＋４本
（上の図では見えない位置に面が１面ある）
これから計算をすると
（頂点の数）－（辺の数）＋（面の数）
＝（Ｖ＋４）－(Ｅ＋１２）＋（Ｆ＋４）
＝Ｖ－Ｅ＋Ｆ－４
＝－２
では実際に頂点、辺、面の数を数えて計算してみます。
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では「頂点の数－辺の数＋面の数」と「立体に開いている穴の数」には関係がないのでしょうか。その解説は次回…
オイラーの定理の謎を解明
下の２つの立体についって「（頂点の数）－（辺の数）＋（面の数）」を計算したところ、両方とも－２になりました。
その謎を解く前に注意を一つ。これまでの話の中で「穴が二つ」の立体は穴が一直線に開いている立体を書いていましたが、実は穴は途中で折れ曲がっていても（頂点の数）－（辺の数）＋（面の数）は－２と変わりません。
 上のどの立体でも（頂点の数）－（辺の数）＋（面の数）＝－２ |
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頂点の数…青の８個の頂点の部分が新しくできた頂点に当たるため頂点の数はＶ＋８個になる。
辺の数…赤の１４本の辺が新しくできた辺に当たるため辺の数はＥ＋１４本
面の数…オレンジの６個の面が新しくできた面に当たるため面の数はＦ＋６本
以上から仕切りをつけた立体の（頂点の数）－（辺の数）＋（面の数）を計算すると
（頂点の数）－（辺の数）＋（面の数）
＝（Ｖ＋８）－（Ｅ＋１４）＋（Ｆ＋６）
＝Ｖ－Ｅ＋Ｆ
仕切りを入れた立体と入れる前の立体の（頂点の数）－（辺の数）＋（面の数）の値は変わらないことが分かりました。
ところでこの仕切りを入れた立体、よく見ると上から２つの穴が開き、それぞれ左右に分かれて穴が突き抜けています。つまり仕切りを入れた立体は「穴が二つ」の立体になります。そうすると最初の注意で書いたことから…
「穴が三つ」の立体、仕切りの入った立体、 「穴が二つ」の立体
この３つの立体について（頂点の数）－（辺の数）＋（面の数）の値は変わらない、ということです。これで「穴が三つ」の立体と「穴が二つ」の立体の謎が解けたわけです。
前回の結果から穴が開いている立体については
（頂点の数）－（辺の数）＋（面の数）＝２－２×（穴の数）
ということが分かりました。
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