「コマネチ大学数学科」に挑む・１１月
最終更新日２００７年１１月２４日
フジテレビで深夜に放送されている「コマネチ大学数学科」の問題に解く様子をご紹介します。数学をやってきたので簡単に解ける…と思ったものの…その奮闘振りをお楽しみに。なお、福岡での放送は二週間遅い模様です。そこら辺はご勘弁を。| 「順列組み合わせ(11/6)」 |
| 「ピックの定理(11/13)」 |
| 「円分割(11/20)」 |
| 「時空図(11/27)」 |
ご意見がありましたらtfujisaki2006@yahoo.co.jpまでお願いします。
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問題：１枚５００円のチケットを買うために、５００円しか持っていない人６人と１０００円札しか持っていない人６人、合わせて１２人が並んでいます。しかし、いまチケット売り場にはつり銭がありません。
つり銭に不足が無いようにチケットを販売できる１２人の並び方は全部で何通りあるでしょうか？ |
なあ〜〜〜〜〜んだ〜〜〜〜〜
さあ、私が「なあ〜んだ」とやや失望を含んだ理解を見せたのはなぜでしょう。その理由は後ほど。まずはコマ大数学研究会の挑戦。６人、６人の計１２人。ということは日本のプロ野球のセパ両リーグの数とピッタシ。ということで１２球団のファンが１人ずつ集まった、という想定で１枚５００円のチケットを買う並び方を全て探すしらみつぶしの方法を取りました。ん〜〜〜コマ大数学研究会の真髄ですね。ダンカンさんの阪神ファンは有名ですが、お宮の松がソフトバンクのファンであることがこのとき分かりました。ソフトバンクが優勝しないのはここに原因があるのでしょうか。
さて、実際に問題を解いていきます。番組ではマス北野がポムさんに内容の説明をするのに一苦労していましたがポムさんは理解できたようです。まず、問題の内容をよく見てみます。問題文に「つり銭に不足が無いように」とあります。これはどういうことかというと…
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正解…１３２通り
大喜びのコマ大チーム、がっくりするマス北野…なんで「１３２通り」を消しちゃったんでしょうかね。その後中村先生が解説をしていきましたが、これは「カタラン数」の計算なのです。カタラン数…そう私が「算数と数学の間で」で話をしたカタラン数そのものなのです。今回の問題は６×２に数字を入れる入れ方と対応しています。５００円と１０００円の並び方と「算数と数学の間で」で出てきた６×２に数字を入れる入れ方とはどのような対応ができるか、それは皆さんで考えてください。
今回は努力の賜物でコマ大チームがコマネチフィールズ賞を取りました。約４時間半かけて１３２個を調べ上げる。単純計算でも約２分に１個調べたことになります。本当にご苦労様でした。
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「ピックの定理（11/13）」
 問題：左の図のような地域がある。この地域は等間隔の格子状の道路が通り地域および池の頂点部分はその道路の交差点に当たる。またこの地域の内部には３７個の交差点があり、池にも３個交差点がある。この地域の（池の部分を除いた）面積を求めよ。 |
あの定理の詳しい中身を覚えていない…
コマ大数学研究会の挑戦は壁の突起を利用して壁を移動する「ボルダリング」を特訓を受け、壁に問題の図形を作るという方法…？？？なんか変？？？…と思ったら単に床の映像を上から写す方法だった、というオチ。「８時だよ、全員集合」のコントを思い出しました。
さてさて、問題の内容がいまひとつ分からないと思います。要は…
 縦横の各直線が道路。 交わっている地点が交差点。 |
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緑の地域の面積 ＝ ３８．５−３．５＝３５ |
さて話題の「ピックの定理」とはどのようなものか…
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格子点を頂点とする多角形について多角形の内部にある点の個数をＩ、辺上にある点の個数をＢと置くと
多角形の面積＝Ｉ＋Ｂ／２−１ |
緑の地域の面積 ＝ ３８．５−３．５＝３５ |
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「円分割（11/20）」
収録が湾岸スタジオというところに移って２週目、近くに餃子屋や焼き鳥屋がないことがちょっと玉に瑕の様子。誰かお店を作ってください。
| 問題：円を直線で分割して２０個の部分に分けるには最低何本の直線が必要でしょう。 |
今回コマ大チームは「円を分割する」ということで、ピザを切って実際に２０個に分割する実験を始めた。ピザは作るの？？それとも出前？？と思ったら紙粘土や絵の具を作って自分達で作る、とのこと。各自１枚ずつ作りあれこれ切り方を考えながら答えを導いた。紙粘土とはいえ私から見ると上手に作ったと思いました。私図画工作…苦手です。
さて、私も計算開始です…といいたいところですが、今回は特に計算をしないで暗算で解けます。同じようにマス北野、東大生チームもすぐに答えが分かり時間が余ったため東大生からマス北野への質問コーナーが始まりました。蛇足ですが話に出てきた永井龍雲という人は「道標ない旅」などのヒット曲を出した歌手の方です。
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円をいくつかの直線と交わりながら直線で分割するとき
分割によって増える部分の数＝交わる直線の数＋１ よって、円をｎ本の直線で分けてできる部分の最大個数は１＋１＋２＋…＋（ｎ−１）＋ｎ＝１＋（ｎ＋１）ｎ／２ |
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来週は「時空図」を使った問題、とのこと。「ジクウズ」…ドラゴンボールのギニュー特戦隊にいた…
それは「リクーム」！！！
というわけで、先週は無理のあるだじゃれで始まりましたので今週は無理のあるだじゃれで終らせたいと思います。
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「時空図（11/27）」
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問題：Ａ氏は外出先のＢ地点で、５時に迎えの車が来て帰る予定だった。ところが、用事が早く終わったので、Ｂ地点を４時５分に出発し、徒歩で家に向かい、途中で迎えの車に乗って帰った。この場合、Ｂ地点で５時まで車を待って帰るのと比べて何分早く家に着くか。 Ａ氏の歩く速さは時速４km、車の速さは時速４０kmとする。 |
が、
いつものようにコマ大数学研究会の挑戦です。今回は問題と同じ設定で時間差を求めればよいのですが、さすがに自動車は難しいということで自転車で迎えに行き、自転車の速度時速２０km、歩く速度２km とそれぞれ半分の速さにして実験開始。自転車は無法松が担当、残りは歩く方を担当。無法松は自転車競技で全国大会に出場経験があるとのこと…たけし軍団はどんなグループなんだ？さて、
計算開始です。x 軸を時間、y 軸を地点とし、普段の５時に迎えの車に乗る時点を (0,0) と置き、車と歩いた場合の動きをグラフにしてみます。
赤線が車の動きのグラフ青線が歩きのグラフ |
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車の速度：時速４０km＝分速２／３km ⇒赤の線のグラフ： y = 2/3 x 歩く速度：時速４km＝分速１／１５km ⇒青の線のグラフ： y = -1/15 x -10/3 方程式 2/3 x = -1/15 x -10/3 を解くと… x = -50/11 （おかしい？と思った皆さん、ちょっと黙っててね。） |
正解…１０分
東大生、マス北野組は見事正解。その後、時空間のグラフ例として鉄道のダイヤグラムや、ローレンツ変換の話をしていたが私は話半分で自分の間違いを考えていた…そして６時間後、改めて計算を見直すと…
あっ！！！
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青の線のグラフ： y = -1/15 x -11/3 方程式 2/3 x = -1/15 x -11/3 を解くと… x = -5 |
クイズ・ヘキサゴンにおける、つるの剛士のような状況です。
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