問題：底面が半径１ｍの円で高さが１ｍの円柱と底面の円の中心から２ｍ離れたところに高さ２ｍの街灯がある。 　この街灯が地面に作る影の面積を求めなさい。

…って、影絵の練習は役に立っているのか？

　私も大まかな影の形は分かっていた。

上から見るとこんな影 （灰色の部分）

　そんな私のことはさておいて、各組の解答です。

コマ大チーム	１２平方ｍ	方眼紙の面積から計算した結果
マス・ポヌペア	2(√10-1)+(13/6)π	正三角形から影にならない 部分を引いて面積を計算。
東大生チーム	2π+3√3	座標を使い影をいくつかの 部分に分けて面積を計算。

正解…2π+3√3 平方ｍ　東大生チーム正解。

街灯（光）の高さは円柱の高さのちょうど２倍になるため、円柱の上の部分が光に当たると、 光から影の端までの長さ＝光から当たる部分までの長さ×２ よって、影の周囲の一部は半径２（円柱の半径×２）の円をなす。また光が円柱に接するように当たる部分はちょうど光からの直線が円柱と接する箇所になるため、上の図から円柱を中心として左右３０度のところになる。以上の結果を元に影の面積の計算に必要な距離を求めると上の図のようになる。 　上の距離から影をいくつかの部分に分けてそれぞれの面積を求めて、足したり引いたりすると影の面積が求 まる。

この問題　結構難しいよ

問題：下の１６個の点を一本の直線を折れ線にして 結びなさい。 　ただし、５回しか折れてはいけません

全然関係ないじゃん！！

　コマ大チームの挑戦は久しぶりにスタジオのある建物の屋上で行われた。内容はいたってシンプル。床に置かれた１６個の点を通るような５回折れる折れ線を作る。シンプルであるが、いつものように風が強く寒い！！すんなりと解けると思いきや答えが見つからない。そこで久々のアタルチャンス！折れ線を枠（１６個の点）の外まで伸ばすことを考え付いた。しかしそこからがまた試行錯誤の連続であった。つくづく思うが、あのスタジオの屋上はコマ大の挑戦用に作られたのではないか。

　マス・ポヌペアと東大生チームの挑戦が始まった。とりあえず線を引き始めたマス北野…

これ、できちゃったよ

私もできちゃったよ

１６個の点を１回だけ通る折れ線の引き方を考えてください。 　上の図では上から２段目の左右両端の点で２回ずつ折れ線が通っている。

　各組の苦戦の結果は以下のようになりました。

　今回は全員正解を出すことができた。「各点を１回ずつ通る」という条件を満たすものも、満たさないものも解答の図は多くある、とのこと。解き方は折れ線１本に何個の点を通るかを考えて、後は…コツコツと探してください。

　さて、私の解答はどうなったかというと…

こんなに作ってしまいました。

　今回のコマ大フィールズ賞は時間ギリギリの大逆転、追加した条件を満たす解答を出したコマ大チームに渡った。調べてみると昨年１０月の「サイコロ必勝法」以来のコマ大チームのコマ大フィールズ賞となった。番組の最後に「問題に挑戦する東大生募集」のお知らせが。コマ大を卒業する人がいるんでしょうか？

問題：タケシくんは今年の３月に毎週１回ずつ合計５回デートをします。 デートの曜日は月曜が１回、水曜が２回、土曜が１回、日曜が１回です。 　タケシくんがデートする日付の数の和はいくつでしょう。 右のカレンダーは２０１０年３月のカレンダー

今回は秒殺、いただきます

　コマ大チームはオープニングにロシア民謡『一週間』の替え歌を披露。しかし「どうせ一週間ヒマなんだろ」とマス北野のツッコミが見事的中。そんなコマ大チームは実際にカレンダーを使って検証。そのとき出ました、アタルチャンス！！…いや

スーパーアタルチャンス！！（と勝手に命名）

　今回は秒殺を見越したのか、解説の竹内先生から「説明をして欲しい」ということ。 その言葉どおり、マス・ポヌペア、東大生チームとも答えは出した模様。問題は解説（何か表現がおかしいですが）答えをどのようにして出したかというのが今回のポイントであった。東大生のプチ情報で山田さんが「寝るときに電気を消すようにした」というかわいらしい話をしたところ、竹内先生も寝るときには電気をつけるということが発覚 。こんなたあいのない話の間も黙々と計算をするポヌさん。ちなみに私は真っ暗なほうが寝やすいです。

　と雑談をしている間に時間が来ました。解答は以下の通り　

コマ大チーム	８３	検証の結果「丼勘定」と コメント
マス・ポヌペア	８３	日曜日を基準にして各曜日 との差を考えた。
東大生チーム	８３	日曜日を基準にして各曜日 との差を考えた。

その通りです、８３です。

正解…その通りです、８３です。

右の図のように、カレンダーの左に日曜日の日付、上に１週目の日付を書く。ただし左の列の一番上と上の列の一番左は共に０とする。 　このときカレンダーの日付はその日付のマスの左の数と上の数の和になる。 例：９＝７＋２、２５＝２１＋４ 問題の５日のデートは各週１回ずつであるため、日付の早い順に並べると ０＋（上の数）、７＋（上の数） …… ２８＋（上の数） という和の形になる。さらに各和の（上の数）はデートの曜日によって決まる。問題では 月曜が１回⇒「上の数＝１」の日が１回 水曜が２回⇒「上の数＝３」の日が２回 土曜が１回⇒「上の数＝６」の日が１回 日曜が１回⇒「上の数＝０」の日が１回 であるため、５個の（上の数）の合計は１＋３＋３＋６＋０＝１３。以上より デートする日付の合計は ０＋７＋１４＋２１＋２８＋（上の数の合計） 　　　　　　　　　　　　　　　　　＝７０＋１３＝８３

左のように、デートの日付が１，１０，２０，２４，２８日であるとき、 　１＋１０＋２０＋２４＋２８ ＝（０＋１）＋（７＋３）＋（１４＋６） 　　　　　　　　　　　　　　＋（２１＋３）＋（２８＋０） ＝０＋７＋１４＋２１＋２８＋（１＋３＋６＋３＋０） ＝８３ 　右のように、デートの日付が６，７，１７，２２，３１日であるとき、 　６＋７＋１７＋２２＋３１ ＝（０＋６）＋（７＋０）＋（１４＋３） 　　　　　　　　　　　　　　＋（２１＋１）＋（２８＋３） ＝０＋７＋１４＋２１＋２８＋（６＋０＋３＋１＋３） ＝８３

　コマ大フィールズ賞は竹内先生も悩むほど、２組（コマ大チーム以外）の解法も良かったため「両者に」との結果。それに対して「今回は譲ります」のマス北野であった。前回から「東大生募集」の告知と共に「問題募集」の告知もあっている。私も問題を送ろうかと思いましたが、これまで同様「解く側」でこのページを続けたいと思います。 問題を送る皆さん、くれぐれも

私が分かる問題にしてください。

問題：１０種類のくじが入った箱がある。 １０種類のくじすべてを手に入れるのに必要な回数の期待値を求めなさい。 ただし、くじの数は任意であり、常にそれぞれの種類のくじを取り出す確率はどれも等しいとする。

　様々なものをもらってきたコマ大チーム。今回はくじでいろんなものもらいたいと、ガチャガチャが並んでいるところにやってきた。昔は１回１０円だったガチャガチャも今は１回１００円…と、そこまでガチャガチャに対する思い出のない私。やっぱり計算をしていた。

　ガチャガチャコーナーを離れて、ガチャガチャのメーカーにやってきたコマ大チーム。もちろん検証はガチャガチャを使って行う。実際に１０までの数字が書かれたくじを入れて４人が１０種類のくじを引くまで何回くじを引くかを数える。しかしそこはコマ大。同じ数字が出たときには飲み物の罰ゲーム。罰ゲームの定番「青汁」に始まって「イカ墨」「ノニジュース」など飲まされた…で、結果はどうなったのでしょうか？

　さて、今回の問題。

どう手をつければ良いのか分からない

コマ大チーム	３２回	検証の結果。４人の回数の平均を とった。
マス・ポヌペア	３０回	10/10 + 10/9 + ... + 10/2 + 10/1 を計算
東大生チーム	５５回	一言「あてずっぽ」

正解…２９．２９回

（Ｎ−１）種類のくじが出たとき、次に新しいくじが出る期待値を 計算する。 「確率×期待値＝１」 という性質を使うと右の表の結果が出てくる。 　各期待値は「新しいくじが出るまでの回数の平均」であるため、 全種類を出すまでの期待値は表の期待値を足し合わせた値 　　10/10+10/9+10/8+ ... +10/3+10/2+10/1 　＝ 10 ( 1/10+1/9+1/8+ ... +1/3+1/2+1/1 ) 　＝ 7381 / 252 　≒ 29.289 となる。

Ｎ 確率 期待値 １ 10/10 10/10 ２ 9/10 10/9 ３ 8/10 10/8 ４ 7/10 10/7 ５ 6/10 10/6 ６ 5/10 10/5 ７ 4/10 10/4 ８ 3/10 10/3 ９ 2/10 10/2 １０ 1/10 10/1

私、この解説を理解できません…でした。