「コマ大数学科」に挑む・１３年１２月
最終更新日２０１４年５月９日
フジテレビで深夜に放送されている「コマ大数学科」の問題に解く様子をご紹介します。数学をやってきたので簡単に解ける…と思ったものの…その奮闘振りをお楽しみに。なお、福岡での放送は二週間遅い模様です。そこら辺はご勘弁を。| コマ大プレイバック エンドレスゲームを無理やり解く |
| 最終回：美しい数学への挑戦 |
ご意見がありましたらtfujisaki2006@yahoo.co.jpまでお願いします。
「コマ大プレイバック エンドレスゲームを無理やり解く」
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問題： Ａ君とＢ君はあるゲームを行います。ゲームに勝つとそれぞれ相手からコインを１枚もらうことができます。どちらかがコインをすべて取るとゲームは終了です。 現在コインをＡ君は６枚、Ｂ君は２枚持っています。ゲームに勝つ確率がＡ君が１／３、Ｂ君が２／３であるとき、Ａ君がＢ君のコインをすべて取る確率を求めなさい。 |
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Ａ君がコインを n 枚、Ｂ君がコインを 8-n 枚 持っているとき、Ａ君がＢ君のコインをすべてとる確率を P(n) と表す。
n = 0 のときはＢ君の勝ちであるため、P(0) = 0 P(n) = 1/3 P(n+1) + 2/3 P(n-1) という式が成り立つ。これらの条件から P(n) = (2^n-1)/225 となることがわかる。問題の条件は n=6 のときにあたるためP(6) = 63/225 = 21/85 となる。 |
この回が終わってから、足していく計算法を進めていきました。この計算には「漸化式」「級数の収束」についての知識が必要ですので、そう簡単には求まりませんでした。半ば無理やり計算を進めた結果、上の解説と同じ確率「21/85」を求めることができました。
それではその解説を…と書きたいところですが、長すぎるので、別のページにまとめました。先ほど書いた
「漸化式」「級数の収束」についての知識が必要です。解説を見たい方は覚悟してご覧ください⇒⇒こちらです。
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「最終回：美しい数学への挑戦」
コマ大のＤＶＤ第１期の中の「ケプラー予想」の回の問題は以下の物でした。
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問題： 縦１０ｃｍ、横５０２．５ｃｍの長方形の枠に直径５ｃｍの缶（＝円）は何個入るでしょう。 |
この時の解説で「缶はもう一個入れることもできますか」とダンカン部長が竹内先生に語りかけたときに、少し間をおいて「それは分かりません」と返答しました。このとき、もう一個入れられない（つまり２０１本が最大である）ことがほぼ正しいとされていましたが、わずかながら証明が完成されていない状況でした。（今はもうわかっているかもしれません）
コマ大では「美しい数学」を紹介してきました。計算を行って正解ができるものもありました。ひらめきを働かせてすっきり答えを出すものもありました。しかし、これらは「理論」を元に問題を作られているためであり、たとえて言えば「シナリオ通りの美しい数学」です。
しかし、実際の問題を考えていく際には上で取り上げたような「理論」だけでは解決されない問題が多いです。おそらく「理論」で解決されるものはごく少数かもしれません。「未解決問題」という未開の土地を既存の「理論」とうんざりするかもしれない「試行錯誤」とちょっとの「ひらめき」でどこまで開発できるのか？かっこいい表現になりましたが、実際の数学の世界はこのようなものかもしれません。ん？上の「理論」「試行錯誤」「ひらめき」はそれぞれ東大生チーム、コマ大チーム、マス北野の問題解決での武器でしたね？
コマ大はこんな「数学の世界」をわずか３０分の番組で伝えてくれました。ここまで多くの分野の「数学の世界」を紹介した番組はおそらく世界中でもなかったかもしれません。今後このような番組が作られるのか？もしかしたら、マスが再びテレビの前に現れるかもしれません。改めて「コマ大数学科」という番組を作ったマス北野に感謝し、再び現れることに期待して、このページも終わります。６年半の間、このページを見たみなさんに感謝します。
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