問題：上の図のように正方形の一部を欠いた形を適当に折り、 １回切ってつなぎ合わせて正方形にしなさい。
「コマ大数学科」に挑む・０９年８月
最終更新日２００９年８月１１日
フジテレビで深夜に放送されている「コマ大数学科」の問題に解く様子をご紹介します。数学をやってきたので簡単に解ける…と思ったものの…その奮闘振りをお楽しみに。なお、福岡での放送は二週間遅い模様です。そこら辺はご勘弁を。| 「一小刀問題(8/6)」 |
| 「メールをいただきました」 |
| 「明治に挑戦(8/13)」 |
| 「可視領域(8/20)」 |
| 「立教に挑戦(8/27)」 |
ご意見がありましたらtfujisaki2006@yahoo.co.jpまでお願いします。
「一小刀問題(8/6)」
|
問題：上の図のように正方形の一部を欠いた形を適当に折り、 １回切ってつなぎ合わせて正方形にしなさい。 |
コマ大チームはとあるギャラリーにやってきた。ここは箱型のスペースを借りて、作品の展示やアクセサリーなどを販売することができる。この場所を借りて、検証を始める。しかしコマ大チームだけでは力が足りない（？）ということで切り絵作家の桜まあちさんを迎えて５人で問題に挑むことに。
しかし、桜さんがあっという間に答えを見つけてしまった。「秒殺」なんて夢のまた夢と思っていたコマ大チームが「秒殺」で答えを出した。検証時間８分。大喜びのコマ大チームはマス北野をモデルにした切り絵を携えてスタジオへ。
今回もすみません。一応知っている問題です。これは次のように切って並び替えると正方形ができます。
|
折って切る方法でこの形が作れるのかは不明。
竹内先生いわく「なるべく折る回数を少なく」とのこと。そこで考えたのは
 赤線→青線の順に折って、緑の線に沿って切る。 |
 上と同じく赤線→青線の順に折って、緑の線に沿って切る。 |
今日の私はおかしい…
今回コマ大チームの検証が大ヒントとなったのか、いち早くマス北野が答えを出した。少し遅れて答えを出した東大生チーム。しかし他の答えを探している様子。解答は次の通りになりました。
 （東大生チームは上の解答とマス北野の解答も見つけていた） |
全員正解だったが、速さで勝っていたマス北野にコマ大フィールズ賞が渡った。竹内先生、最近ちょっとマス北野に甘いかな？と思うのは考えすぎかな？次週は東京六大学に挑戦シリーズの第２弾、マス北野の母校「明治大学に挑戦」次回の予告を見ながら思った…
今日は早く終わりすぎたのかな？
来週はどんな問題が出てくるのでしょうか？数学とクイズでくつろいで＜数学の部屋＜「コマ大数学科」に挑む＜「コマ大数学科」に挑む・０９年８月
メールをいただきました
7/23 放送分の「原始ピタゴラス数」に関して次のようなメールをいただきました。 （一部抜粋）
|
c2 =a2 + b2 より（「a2」とは「a の２乗」のこと「b2」「c2」も同様） a2 = c2 - b2 a2 = (c + b)(c - b) c - b= 1 の場合から順次考えます。 この場合、b、ｃ いずれかが偶数になり、それは２ではありえないので、題意よ り a は素数となります。 また、a2 = b + c となるので、 b, c は、差が１で、和が素数の平方数となります。 そこで、 a = 3 なら b = 4, c = 5 a = 5 なら b = 12, c= 13 a = 7 なら b =24, c = 25 （素数が一つで不適） a = 11 なら b = 60, c= 61 （和が１３２でこれが解答） |
３辺の和が等しい異なる２つの原始ピタゴラス数はない
と思われます。現在調査中です。
もう一つ、５月に掲載した「カックロ…問題の解答」について間違いの指摘のメールをいただきました。
|
カックロの問題の解答で間違いだと思われる箇所を指摘させていただけ
ればと思います。 上から２段目の列は左から2、1、4ではなく 4、1、2ではないでしょうか。 |
数学とクイズでくつろいで＜数学の部屋＜「コマ大数学科」に挑む＜「コマ大数学科」に挑む・０９年８月
「明治に挑戦(8/13)」
先週予告があった通り、今回のテーマは「明治（大学）に挑戦」以前入学試験に出された問題を今回は出題する。問題はこちら。
| 問題：f(x) は x の３次曲線で… |
さ、さ、３次曲線！！！
失礼しました。取り乱してしまいました。改めて問題。
|
問題：f(x) は x の３次曲線で曲線 f(x) は原点で直線 y = (3/2)x に接し、x=3 で x 軸に接するとします。 このとき曲線 y = f(x) と x 軸とで囲まれる部分の面積を求めなさい。 |
コマ大チームの検証、というか今回は大学探訪として明治大学に向かった。しかしマス北野が通った理工学部は遠く離れた生田というところにあるとのこと。電車に乗り、さらに長い坂を登り、やっとで理工学部に到着した。
問題の出題の前に「明治大学出身の有名人は？」という質問を学生に聞いてみた。数々の有名人が出てくるが肝心のマス北野の回答がない。やっとでマス北野の答えが出たときに更なる事実が。マス北野は英語の教材として取り上げられていたので明治出身であることを知っていたとのこと。
さて今回の問題を解くためにコマ大チームが向かったのは「オートメーション研究会」自作のロボットの技能を競う「ロボコン」にも出場したことがある、いわば頭脳集団。その中の１人に今回の問題を解いてもらうことにした。ダンカン部長がロボットで邪魔をする場面もあったが見事正解を導くことができた。正解を出すまでの時間８分４１秒。マス北野、東大生はこれより早く答えを出せるのか。
今回は時間を計るため、計算を始めるまで問題を見せていなかった。マス北野が受けたかもしれない問題だっただけに「秒殺」を期待していた。しかし、問題を見るなりマス北野「積分、え〜〜」と弱音を吐いた。何しろコマ大で微積分の問題なんて出したことない。おまけに今回の問題は「３次曲線」やら「x 軸に接している」やら数学用語のオンパレード。さすがのマス北野も泡を食った様子。
とか言いながら私はきちんと解きました。
いい所までいきながら解答を諦めてしまったマス北野。３本撮りの３本目で少々お疲れか？一方東大生チームは着々と計算を進める。山田さんが答えを出した。その時間８分４６秒。明大生には一歩及ばなかった。各組の解答は以下の通り。
| コマ大チーム | ９／８ | 明大生の答え。 |
| 東大生チーム | ９／８ | ３次曲線の式を求めてから積分を使い計算。 |
| マス北野 | 「替へ玉でした」と一言 | 式を出そうとはしたが… |
正解…９／８、コマ大、東大生チーム正解
今回の問題はまず３次曲線 f(x) を求めるところから始めなければいけない。
|
f(x) は３次式なので f(x) = a x^3 + b x^2 + c x + d
と書き表す（係数 a, b, c, d はまだ分からない） f(0) = d = 0 f(3) = 27a + 9b + 3c + d = 0 次に直線と接する条件を考えるため、f(x) を微分する。 f'(x) = 3a x^2 + 2b x + c 問題の条件から「x = 0 での接線の傾きは 3/2」「x = 3 での接線の傾きは 0」 となることが分かる。このため f'(0) = c = 3/2 f'(3) = 27a + 6b + c = 0 となる。これら４つの式から a, b, c, d を求めると a = 1/6, b = -1, c = 3/2. d = 0 となるため、f(x) は f(x) = 1/6 x^3 - x^2 + 3/2 x = 1/6 (x^2 - 6x + 9) となる。 |
|
| 関数 f(x) の作り方 |
| 面積の求め方（積分） |
数学とクイズでくつろいで＜数学の部屋＜「コマ大数学科」に挑む＜「コマ大数学科」に挑む・０９年８月
「可視領域(8/20)」
いつものようにビデオでコマ大の録画予約をしていたら、バレーボールが延長したため、１５分ほど放送が遅れていた。朝起きてビデオを見たらコマ大の前に放送されている「ゴールドハウス」が入っておりＵ字工事がギョーザを食べていた。とりあえずビデオに入っていたところまでの内容をご紹介。まずは問題。
問題：広い場所に高さ５．５ｍの棒が垂直に立っています。遠くからこの棒に向かって秒速１ｍでまっすぐ進むとき、上から５ｍの赤い部分を見込む角度が３０度以上であるように見えるのは何秒間でしょう。
（目線は高さ０ｍの地点にあるものとする）
|
先週の微積分問題にコテンパンにやられたマス北野。今回も苦戦か、と思われたときにおもむろに問題の一部を切り始めた。これは閃きが働き始めた前兆である。
ここでビデオは終了。
私はビデオのずれに慌ててしまって計算に集中できなかった（ということにして下さい）ビデオが終わったあとじっくり時間をかけて計算すると答えを出すことができた。
|
|
ここしばらく冗談抜きで問題に挑んですみません。ある程度解き方が分かると一気に仕上げたくなる性格ですから。それはさておいてテレビの続きです。
これ以降は、毎回お世話になっているガスコン研究所のレビューからの抜粋です。 各組の答えは次のようになりました。
| コマ大チーム | １３．５秒間 | 検証の結果 |
| 東大生チーム | ５√３秒間 | 余弦定理を使って計算 |
| マス北野 | ８秒間 | ３：４：５の直角三角形を作図した |
正解…８秒、マス北野正解！
解説では私の計算と同じ解きかたを紹介していた。東大生チームも同じ２次方程式を出すことができたかもしれないが、どこかで間違えたみたい。で、マス北野の解きかたはどのようなものなのか…
５ｍの棒の赤い部分と、ちょうど３０度の角度を見込む地点で作られる三角形について、その三角形の外接円を描く。（東大生チームはこの三角形に余弦定理を使った） この円の中心と５ｍの棒の赤い部分で作られる三角形は円周角の定理から中心角が６０度の二等辺三角形である。つまり正三角形になる。 よってこの円の半径は赤い棒の部分と同じ５ｍになる。また下の緑の線の部分が３０度以上の角度を見込む範囲になる。 |
円の中心と緑の線の両端をそれぞれ結ぶと、ちょうど円の半径になるため長さは５ｍ。また中心から緑の線に垂線を引くとその長さは ５／２＋０．５＝３ｍ となるためピタゴラスの定理から緑の部分の長さは２×４＝８ｍ。秒速１ｍであるため 答えは８秒間になる。 |
見事に正解を導いたマス北野がコマ大フィールズ賞をもらった（実はコマ大フィールズ賞のことが書かれていなかったのですが間違いなくマス北野がもらったのでしょう） 今回は数学に飽くなき挑戦をするマス北野に脱帽だった。一方ここしばらくマス北野の力に押されている東大生チーム。跳ね返す力を見せて欲しいと思う…と真面目な終わり方でごめんなさい。
数学とクイズでくつろいで＜数学の部屋＜「コマ大数学科」に挑む＜「コマ大数学科」に挑む・０９年８月
「立教に挑戦(8/27)」
問題：図のように縦、横の長さがそれぞれ１、２の紙がある。これを幅ｘで縦に切り２つの紙片をつくり、それぞれを丸めて２つの円柱の側面を作る。ただし、縦、横どちらの側を縦にするかは円柱の体積が小さくなるように決めるものとする。このとき円柱の体積の和の最小値とそのときのｘの値を求めよ。
|
今回問題に挑むのは「立教大学アナウンス研究会」各自アナウンサーになるために努力している…というが、
「アナウンス研究会」って何をするんだ？
…それはともかく、問題に挑んだところ、答えを出すまで「９分３５秒」だった。六大学シリーズ２連敗の東大生チーム、そしてマス北野、今回はこの時間に勝てるか？前回同様、計算を始めるまで２組には問題を見せていない。前回の微積分の問題があったためか、今回の問題を見て驚く様子はなかった。いつものように式を作り、答えを導く東大生チーム。一方マス北野は前回のように問題の図形を切る様子はなかった。東大生チームに負けじとものすごい速さで式を書いていった。おそらく前回の問題が解けなかったために勉強し直したのだろう。それにしてもこの年齢の一般人でこれだけ数式を書く人はそういないはず…
先に答えを弾き出したのはマス北野だった。各組の解答は以下の通り。
| コマ大チーム | ｘ＝１／２、３／２ 体積：７／(１６π) | 立大生の答え。コマ大チームは 一応検算をした。 |
| 東大生チーム | ｘ＝１／２、３／２ 体積：７／(１６π) | 式を出したあと、平方完成を使った。 |
| マス北野 | ｘ＝１／２、３／２ 体積：７／(１６π) | 式を出したあと、微分を使った。 |
正解…ｘ＝１／２、３／２ 体積：７／(１６π)…全員正解！
遅くなりましたが、私も解けました。では解説を
|
円の半径が r の円の円周は「２π r 」よって円周が x の円の半径は
ｘ／２π である。これを使って縦が１、横が x の長方形から作られる円柱の体積 を考える。
問題では体積が小さいほうを選ぶ。x がどの範囲でどちらの円柱の体積が小さくなるかを調べると
左の長方形の横の長さがｘのとき、右の長方形の横の長さは２−ｘ。０≦ｘ≦１ の範囲のとき １≦２−ｘ≦２。一方１≦ｘ≦２ ０≦２−ｘ≦１ となるため、２つの紙片から作られる円柱の（小さいほうの）体積の和は
|
今回は全員正解だったが、問題は解くまでの時間。これまで早稲田、明治両大学の入試問題では解けたものの時間がかかっている。今回はどうか
| 立教大生 | ９分３５秒 |
| マス北野 | ８分５５秒 |
| 東大生チーム | １０分４８秒 |
んんん〜〜〜？？？
と悩ませてくれる問題が欲しいなあ…
